Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen

Eine Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum auf die reelle Achse, und ihre Verteilungsfunktion, die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable ein gegebenes Niveau nicht überschreitet, ist die universelle Methode, um zu beschreiben, wie ihre Werte verteilt sind.

Definition

Eine Zufallsvariable ist eine messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum zu den reellen Zahlen, und ihre Verteilungsfunktion ordnet jeder reellen Zahl die Wahrscheinlichkeit zu, dass die Variable einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich dieser Zahl ist.

Scope

Das Thema umfasst die Messbarkeit von reell- und vektorwertigen Zufallsvariablen, die kumulative Verteilungsfunktion und ihre definierenden Eigenschaften der Monotonie, Rechtsstetigkeit und Grenzwerte, die Korrespondenz zwischen Verteilungsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsmaßen auf der Achse, Dichten und die Lebesgue-Zerlegung in diskrete, absolut stetige und singuläre Teile sowie gemeinsame Verteilungen von Zufallsvektoren mit ihren Randverteilungen.

Core questions

• Was bedeutet es für eine Funktion auf einem Stichprobenraum, eine Zufallsvariable zu sein?
• Welche Eigenschaften kennzeichnen eine kumulative Verteilungsfunktion, und wie bestimmt sie die Verteilung?
• Wann hat eine Verteilung eine Dichte, und welche Alternativen gibt es?
• Wie hängen die gemeinsame und die Randverteilungen mehrerer Zufallsvariablen zusammen?

Key concepts

• messbare Funktion
• kumulative Verteilungsfunktion
• Wahrscheinlichkeitsdichte
• Lebesgue-Zerlegung
• gemeinsame und Randverteilungen

Key theories

Korrespondenz der Verteilungsfunktion

Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf der reellen Achse entspricht einer eindeutigen nicht-abnehmenden, rechtsstetigen Verteilungsfunktion mit Grenzwerten Null und Eins und umgekehrt, was eine vollständige und konkrete Beschreibung eindimensionaler Verteilungen ermöglicht.

Lebesgue-Zerlegung einer Verteilung

Jede Verteilung auf der Achse zerfällt eindeutig in einen diskreten Teil, der auf Atomen gestützt ist, einen absolut stetigen Teil mit einer Dichte und einen singulären stetigen Teil, was klärt, wann eine Wahrscheinlichkeitsdichte existiert und wann nicht.

Clinical relevance

Verteilungsfunktionen sind das, was empirische Daten schätzen und was statistische Modelle postulieren; die empirische Verteilungsfunktion ist die Grundlage für Güteanpassungstests und den Bootstrap, Quantile, die von der Verteilungsfunktion abgeleitet sind, definieren den Value-at-Risk und Referenzbereiche, und Dichten sind die Objekte, die in den meisten Likelihood-basierten Inferenzen angepasst werden.

History

Die Erkenntnis, dass eine Zufallsvariable lediglich eine messbare Funktion ist und ihr Verhalten durch eine Verteilungsfunktion erfasst wird, entstand mit der maßtheoretischen Neuformulierung der Wahrscheinlichkeit im frühen 20. Jahrhundert, die die frühere fallweise Behandlung spezifischer Verteilungen ersetzte.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• William Feller
• Henri Lebesgue

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

Hat jede Zufallsvariable eine Dichte?

Nein; nur Zufallsvariablen, deren Verteilung absolut stetig ist, haben eine Dichte. Diskrete Variablen platzieren Masse auf einzelnen Punkten, und seltenere singuläre stetige Verteilungen haben keine Dichte, obwohl sie keine Atome besitzen.

Warum ist die Verteilungsfunktion mit „kleiner oder gleich“ und nicht mit „strikt kleiner“ definiert?

Die Konvention „kleiner oder gleich“ macht die Verteilungsfunktion rechtsstetig, was die natürliche Wahl ist, die sie in eine klare Korrespondenz mit dem zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsmaß und seinen Atomen bringt.