Radon-Nikodym und Produktmaße

Diese Ergebnisse vergleichen und kombinieren Maße: Der Satz von Radon-Nikodym stellt ein Maß als Dichte multipliziert mit einem anderen dar, während Produktmaße und der Satz von Fubini die Integration über mehrere Variablen zu einem iterierten Prozess machen.

Definition

Der Satz von Radon-Nikodym besagt, dass ein Maß, das absolut stetig bezüglich eines sigma-endlichen Maßes ist, dem Integral einer Dichte bezüglich dieses Maßes entspricht; ein Produktmaß erweitert Maße auf Faktorräumen auf ihr Produkt, sodass die Integration über mehrere Variablen nacheinander durchgeführt werden kann.

Scope

Dieses Thema behandelt signierte und komplexe Maße mit den Hahn- und Jordan-Zerlegungen, absolute Stetigkeit und gegenseitige Singularität, die Lebesgue-Zerlegung, den Satz von Radon-Nikodym und seine Ableitung, die Konstruktion von Produktmaßen sowie die Sätze von Fubini und Tonelli zum Vertauschen der Reihenfolge iterierter Integrale.

Core questions

• Wie wird ein Maß relativ zu einem anderen in absolut stetige und singuläre Teile zerlegt?
• Wann besitzt ein Maß eine Dichte bezüglich eines anderen, und was ist diese Dichte?
• Wie wird ein Maß auf einem Produktraum aus Maßen auf den Faktoren konstruiert?
• Wann darf die Reihenfolge eines iterierten Integrals vertauscht werden?

Key theories

Satz von Radon-Nikodym

Ist ein Maß absolut stetig bezüglich eines sigma-endlichen Maßes, so ist es das Integral einer eindeutigen Dichtefunktion, der Radon-Nikodym-Ableitung, welche die rigorose Grundlage von Wahrscheinlichkeitsdichten und bedingter Erwartung bildet.

Satz von Fubini-Tonelli

Unter Sigma-Endlichkeit entspricht ein Integral über einem Produktraum jedem iterierten Integral, wobei Tonellis Form für nicht-negative Funktionen und Fubinis Form für integrierbare Funktionen gilt, was den Austausch der Integrationsreihenfolge rechtfertigt.

Clinical relevance

Die Radon-Nikodym-Ableitung ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und das Likelihood-Verhältnis in der Statistik sowie die rigorose Grundlage der bedingten Erwartung in der Wahrscheinlichkeitstheorie, während Produktmaße und der Satz von Fubini die Behandlung von gemeinsamen Verteilungen, Unabhängigkeit und mehrdimensionalen Integralen in der Physik und angewandten Mathematik untermauern.

History

Radon bewies den Dichtesatz für den euklidischen Raum im Jahr 1913, und Nikodym erweiterte ihn 1930 auf abstrakte Maße. Fubinis Satz über die iterierte Integration stammt aus dem Jahr 1907 und wurde 1909 durch Tonellis nicht-negative Version ergänzt, womit die Theorie der Produktintegration vervollständigt wurde.

Key figures

• Johann Radon
• Otton Nikodym
• Guido Fubini

Seminal works

• folland1999
• cohn2013

Frequently asked questions

Was ist die Radon-Nikodym-Ableitung?

Es ist die Dichtefunktion, die ein Maß als Integral bezüglich eines anderen ausdrückt, wenn das erste absolut stetig bezüglich des zweiten ist; in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es genau die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Wann kann die Reihenfolge eines Doppelintegrals vertauscht werden?

Tonellis Satz erlaubt dies für nicht-negative messbare Funktionen auf sigma-endlichen Räumen, und Fubinis Satz erlaubt es, wann immer die Funktion über dem Produkt integrierbar ist; zusammen decken sie die in der Praxis auftretenden Fälle ab.