Lp-Räume

Die Lp-Räume umfassen Funktionen, deren p-te Potenz integrierbar ist, und bilden vollständige normierte Räume, die die Brücke zwischen Maßtheorie und Funktionalanalysis schlagen.

Definition

Für einen Maßraum und einen Exponenten p von mindestens eins besteht der Raum Lp aus Äquivalenzklassen messbarer Funktionen, deren Absolutwert, erhoben zur Potenz p, ein endliches Integral besitzt, normiert durch die p-te Wurzel dieses Integrals.

Scope

Dieses Thema behandelt die Lp-Norm und die Identifizierung von Funktionen, die fast überall gleich sind, die Hölder- und Minkowski-Ungleichungen, die Vollständigkeit von Lp, ausgedrückt durch den Satz von Riesz-Fischer, den speziellen Hilbertraum-Fall von quadratintegrierbaren Funktionen, die Dualität zwischen konjugierten Exponenten und die Dichte einfacher und stetiger Funktionen.

Core questions

• Warum müssen Elemente von Lp Äquivalenzklassen von Funktionen und nicht Funktionen sein?
• Welche Ungleichungen machen die Lp-Norm zu einer echten Norm und kontrollieren Produkte von Funktionen?
• Warum ist jeder Lp-Raum vollständig, und warum ist das wichtig?
• Wie werden die Dualräume der Lp-Räume durch konjugierte Exponenten identifiziert?

Key theories

Hölder- und Minkowski-Ungleichungen

Die Hölder-Ungleichung begrenzt das Integral eines Produkts durch das Produkt der Lp-Normen bei konjugierten Exponenten, und die Minkowski-Ungleichung etabliert die Dreiecksungleichung für die Lp-Norm, die beiden Abschätzungen, die Lp zu einem normierten Raum machen.

Vollständigkeitssatz von Riesz-Fischer

Jeder Lp-Raum ist vollständig, daher ist er ein Banachraum und, für den Exponenten zwei, ein Hilbertraum; die Vollständigkeit ist das Bindeglied zwischen Maßtheorie und Funktionalanalysis und liegt Fourier-Entwicklungen zugrunde.

Clinical relevance

Lp-Räume sind die natürliche Umgebung für Signale endlicher Energie und endlicher Leistung, für die variationelle Formulierung partieller Differentialgleichungen mittels Sobolew-Räumen sowie für Wahrscheinlichkeit und Statistik, wo der Raum der quadratintegrierbaren Zufallsvariablen die Geometrie hinter Varianz, Korrelation und der Methode der kleinsten Quadrate trägt.

History

Riesz und Fischer bewiesen 1907 unabhängig voneinander die Vollständigkeit quadratintegrierbarer Funktionen, ein Ergebnis, das bald auf allgemeine Exponenten ausgedehnt wurde. Die Lp-Räume wurden zu den Prototypen der Banachräume in der Entwicklung der Funktionalanalysis durch Riesz und Banach.

Key figures

• Frigyes Riesz
• Ernst Fischer
• Otto Holder

Seminal works

• folland1999
• brezis2011

Frequently asked questions

Warum sind Lp-Elemente Äquivalenzklassen und nicht Funktionen?

Die Lp-Norm kann Funktionen nicht unterscheiden, die sich nur auf einer Menge vom Maß Null unterscheiden. Um eine echte Norm zu erhalten, identifiziert man Funktionen, die fast überall übereinstimmen, und arbeitet mit den resultierenden Äquivalenzklassen.

Was ist das Besondere am Fall p gleich zwei?

Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen ist ein Hilbertraum, der einzige Lp-Raum mit einem inneren Produkt, das ihm Orthogonalität und Projektion verleiht und ihn zum Zuhause der Fourier-Analyse und der Quantenzustände macht.