Generalisierte Koordinaten und Zwangsbedingungen

Generalisierte Koordinaten sind unabhängige Variablen, die die Konfiguration eines Systems beschreiben und so gewählt werden, dass sie Zwangsbedingungen aufnehmen und die Anzahl der zu verfolgenden Freiheitsgrade reduzieren.

Definition

Generalisierte Koordinaten sind ein minimaler Satz unabhängiger Parameter, die die Konfiguration eines mechanischen Systems konsistent mit seinen Zwangsbedingungen eindeutig festlegen und dessen Beschreibung auf die tatsächliche Anzahl seiner Freiheitsgrade reduzieren.

Scope

Dieses Thema behandelt die Wahl generalisierter Koordinaten, den Begriff des Konfigurationsraums und der Freiheitsgrade sowie die Klassifizierung von Zwangsbedingungen als holonom oder nichtholonom, skleronom oder rheonom. Es wird erläutert, wie holonome Zwangsbedingungen durch eine geeignete Koordinatenwahl eliminiert werden und wie das Prinzip der virtuellen Arbeit und das d'Alembert'sche Prinzip mit Zwangskräften umgehen.

Core questions

• Wie reduziert die Wahl generalisierter Koordinaten die Anzahl der Variablen in einem Problem?
• Was unterscheidet holonome von nichtholonomen Zwangsbedingungen?
• Wie eliminieren das d'Alembert'sche Prinzip und die virtuelle Arbeit unbekannte Zwangskräfte?

Key concepts

• Generalisierte Koordinaten
• Freiheitsgrade
• Konfigurationsraum
• Holonome versus nichtholonome Zwangsbedingungen
• Virtuelle Verschiebung und virtuelle Arbeit
• Zwangskräfte

Key theories

Holonome Zwangsbedingungen und Freiheitsgrade

Holonome Zwangsbedingungen sind als Gleichungen zwischen Koordinaten und Zeit ausdrückbar; jede reduziert die Freiheitsgrade um eins und kann durch die Wahl geeigneter generalisierter Koordinaten absorbiert werden.

D'Alembert'sches Prinzip und virtuelle Arbeit

Indem nur virtuelle Verschiebungen zugelassen werden, die mit den Zwangsbedingungen konsistent sind, fallen die Zwangskräfte, die keine virtuelle Arbeit verrichten, weg, wodurch Bewegungsgleichungen nur in Bezug auf die angelegten Kräfte verbleiben.

Clinical relevance

Die Wahl generalisierter Koordinaten, die Zwangsbedingungen berücksichtigen, macht die Dynamik von Gelenkmechanismen, Roboterarmen, Getrieben und gelenkigen Mechanismen handhabbar, und die Unterscheidung zwischen holonom und nichtholonom ist entscheidend für die Steuerung von rollenden und Radsystemen.

History

Das d'Alembert'sche Prinzip von 1743 reduzierte die Dynamik auf ein statisches Problem, indem es Trägheits- und angelegte Kräfte kombinierte, und Lagrange baute darauf auf, um die Methode der generalisierten Koordinaten zu entwickeln, die Zwangskräfte eliminiert. Die systematische Klassifizierung von Zwangsbedingungen, einschließlich des Begriffs nichtholonom, wurde Ende des 19. Jahrhunderts von Hertz und anderen präzisiert.

Key figures

• Jean le Rond d'Alembert
• Joseph-Louis Lagrange
• Heinrich Hertz

Seminal works

• goldstein2002
• lanczos1970

Frequently asked questions

Was macht eine Zwangsbedingung nichtholonom?

Eine nichtholonome Zwangsbedingung kann nicht als algebraische Beziehung allein zwischen den Koordinaten geschrieben werden; sie beinhaltet typischerweise Geschwindigkeiten auf eine nicht-integrierbare Weise, wie bei einem Rad, das ohne zu rutschen rollt, und kann nicht durch eine Koordinatentransformation entfernt werden.

Warum ist es vorteilhaft, Zwangskräfte zu eliminieren?

Zwangskräfte sind in der Regel unbekannt und uninteressant, wie zum Beispiel die Normalkraft einer Bahn. Da sie bei virtuellen Verschiebungen, die mit den Zwangsbedingungen konsistent sind, keine Arbeit verrichten, eliminiert die Lagrange-Methode sie automatisch aus den Bewegungsgleichungen.