Euler-Lagrange-Gleichungen

Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind die Differentialgleichungen der Bewegung, die sich aus der Forderung ergeben, dass die Wirkung stationär ist, eine Gleichung für jede verallgemeinerte Koordinate.

Definition

Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind der Satz von Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die durch Nullsetzen der Variation der Wirkung erhalten werden und die zeitliche Entwicklung jeder verallgemeinerten Koordinate eines mechanischen Systems beschreiben.

Scope

Dieses Thema behandelt die Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichungen aus dem Hamiltonschen Prinzip, ihre Form für Systeme verallgemeinerter Koordinaten, die Definition verallgemeinerter (kanonischer) Impulse, die Behandlung zyklischer Koordinaten, die zu erhaltenen Impulsen führen, und ihre Erweiterung auf Systeme mit Zwangsbedingungen mittels Lagrange-Multiplikatoren. Sie sind das zentrale rechnerische Ergebnis der Lagrange-Mechanik.

Core questions

• Wie folgen die Euler-Lagrange-Gleichungen aus der Bedingung der stationären Wirkung?
• Was ist ein verallgemeinerter Impuls, und wann ist er erhalten?
• Wie werden Zwangsbedingungen durch Lagrange-Multiplikatoren berücksichtigt?

Key concepts

• Verallgemeinerte Koordinaten und Geschwindigkeiten
• Verallgemeinerter (kanonischer) Impuls
• Zyklische (ignorierbare) Koordinaten
• Lagrange-Multiplikatoren für Zwangsbedingungen
• Äquivalenz mit dem zweiten Newtonschen Gesetz

Key theories

Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen

Die Forderung nach stationärer Wirkung ergibt für jede verallgemeinerte Koordinate eine Gleichung, die die Zeitableitung des verallgemeinerten Impulses der aus der Lagrange-Funktion abgeleiteten verallgemeinerten Kraft gleichsetzt.

Zyklische Koordinaten und erhaltene Impulse

Wenn die Lagrange-Funktion nicht von einer bestimmten Koordinate abhängt, ist der entsprechende verallgemeinerte Impuls erhalten, was einen direkten Weg zu Bewegungskonstanten bietet.

Clinical relevance

Da sie Bewegungsgleichungen direkt aus Energien in beliebigen geeigneten Koordinaten erzeugen, sind die Euler-Lagrange-Gleichungen das Standard-Ableitungswerkzeug in der Robotik, der Mehrkörpersystemdynamik in der Luft- und Raumfahrt und der Regelungstechnik, wo kartesische Kraftbilanzen umständlich wären.

History

Euler leitete in den 1740er Jahren die zentrale Gleichung der Variationsrechnung ab, und Lagrange verallgemeinerte sie und wandte sie systematisch in seiner „Mécanique analytique“ von 1788 auf die Mechanik an, wodurch die Gleichungen ihren gemeinsamen Namen erhielten. Ihre Neuinterpretation durch das Hamiltonsche Prinzip im neunzehnten Jahrhundert verdeutlichte ihren variationalen Ursprung.

Key figures

• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

Sind die Euler-Lagrange-Gleichungen äquivalent zu den Newtonschen Gesetzen?

Ja, für Systeme, die beide beschreiben. In kartesischen Koordinaten mit der Lagrange-Funktion T − V reproduzieren sie Newtons zweites Gesetz exakt, sind aber in beliebigen verallgemeinerten Koordinaten gültig und behandeln Zwangsbedingungen sauberer.

Was ist ein verallgemeinerter Impuls?

Es ist die Ableitung der Lagrange-Funktion nach einer verallgemeinerten Geschwindigkeit; für gewöhnliche kartesische Koordinaten reduziert er sich auf den üblichen linearen Impuls, aber für eine Winkelkoordinate ist es ein Drehimpuls.