Hamiltonsche Gleichungen und Phasenraum

Die Hamiltonschen Gleichungen sind ein Paar Gleichungen erster Ordnung, die die zeitliche Entwicklung von Koordinaten und konjugierten Impulsen als Ableitungen des Hamilton-Operators beschreiben und die Bewegung als Fluss im Phasenraum darstellen.

Definition

Die Hamiltonschen Gleichungen sind die beiden Differentialgleichungen erster Ordnung, von denen die eine die Änderungsrate jeder Koordinate und die andere die jedes konjugierten Impulses als partielle Ableitungen des Hamilton-Operators angibt, die die Trajektorie eines Systems durch den Phasenraum bestimmen.

Scope

Dieses Thema behandelt die Legendre-Transformation, die den Hamilton-Operator aus der Lagrange-Funktion definiert, die daraus resultierenden kanonischen Gleichungen für jedes Koordinaten-Impuls-Paar, die Struktur des Phasenraums und der Trajektorien darin sowie Liouvilles Theorem über die Erhaltung des Phasenraumvolumens unter Hamiltonschem Fluss.

Core questions

• Wie wird der Hamilton-Operator aus der Lagrange-Funktion durch eine Legendre-Transformation konstruiert?
• Was stellt eine Trajektorie im Phasenraum dar und wie entwickelt sie sich?
• Warum bleibt das Phasenraumvolumen unter Hamiltonschem Fluss erhalten?

Key concepts

• Legendre-Transformation
• Konjugierter Impuls
• Phasenraum und Phasenraumtrajektorie
• Kanonische Gleichungen
• Liouvilles Theorem
• Energiefläche

Key theories

Hamiltonsche kanonische Gleichungen

Die Bewegung wird durch Gleichungen erster Ordnung beschrieben, in denen die Änderungsrate jeder Koordinate der Impulsableitung des Hamilton-Operators und die Änderungsrate jedes Impulses dem negativen der Koordinatenableitung entspricht.

Liouvilles Theorem

Der durch einen Hamilton-Operator erzeugte Fluss erhält das Volumen im Phasenraum, sodass sich ein Bereich von Anfangsbedingungen entwickelt, ohne sein Phasenraummaß zu ändern, ein Eckpfeiler der statistischen Mechanik.

Clinical relevance

Das Phasenraumbild und Liouvilles Theorem sind die Grundlage der statistischen Mechanik und der Ensemble-Methoden, der Strahlendynamik von Beschleunigern, wo die Phasenraumfläche eine erhaltene Emittanz ist, und numerischer symplektischer Integratoren, die in Langzeit-Orbital- und Molekularsimulationen verwendet werden.

History

Hamilton führte die kanonischen Gleichungen in seinen Arbeiten von 1834-1835 über eine allgemeine Methode in der Dynamik ein, wobei er die Lagrange-Beschreibung zweiter Ordnung in eine symmetrische erster Ordnung umwandelte. Liouvilles Theorem von 1838 über die Volumenerhaltung und Gibbs' spätere Verwendung des Phasenraums für statistische Ensembles etablierten die Phasenraum-Perspektive als zentral für die Physik.

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Joseph Liouville
• Josiah Willard Gibbs

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

Was ist der Phasenraum?

Der Phasenraum ist der Raum, dessen Koordinaten alle verallgemeinerten Positionen und ihre konjugierten Impulse sind; ein einzelner Punkt spezifiziert den momentanen Zustand eines Systems vollständig, und die Geschichte des Systems ist eine Kurve durch diesen Raum.

Warum sind Hamiltonsche Gleichungen erster Ordnung, während Lagrangesche Gleichungen zweiter Ordnung sind?

Durch die Behandlung von Impulsen als unabhängige Variablen neben den Koordinaten verdoppelt die Hamiltonsche Formulierung die Anzahl der Variablen, reduziert aber jede Gleichung auf die erste Ordnung, wodurch die symmetrische Struktur des Phasenraums sichtbar wird.