Prinzip der kleinsten Wirkung

Das Prinzip der kleinsten Wirkung besagt, dass der physikalische Pfad, den ein System zwischen zwei Konfigurationen nimmt, derjenige ist, für den das Wirkungsfunktional stationär ist.

Definition

Das Prinzip der kleinsten Wirkung ist die Behauptung, dass sich ein mechanisches System entlang der Trajektorie entwickelt, für die die Wirkung, das Integral der Lagrange-Funktion über die Zeit, bei kleinen Variationen des Pfades und festgehaltenen Endpunkten stationär ist.

Scope

Dieses Thema behandelt das Wirkungsfunktional als Zeitintegral der Lagrange-Funktion, das Hamiltonsche Prinzip der stationären Wirkung, die Variationsrechnung zur Bestimmung physikalischer Pfade und die Unterscheidung zwischen dem älteren Maupertuis-Prinzip (verkürzte Wirkung) und dem Hamiltonschen Prinzip. Es motiviert, warum eine einzige variationale Aussage die gesamte Mechanik kodieren kann.

Core questions

• Was ist die Wirkung, und was bedeutet es, dass sie stationär ist?
• Wie unterscheidet sich das Hamiltonsche Prinzip vom älteren Maupertuis-Prinzip der kleinsten Wirkung?
• Warum kann ein einziges Variationsprinzip die gesamte Newtonsche Dynamik reproduzieren?

Key concepts

• Wirkungsfunktional
• Variationsrechnung
• Stationärer (extremaler) Pfad
• Endpunkt- (Rand-) Bedingungen
• Verkürzte Wirkung

Key theories

Hamiltonsches Prinzip

Unter allen Pfaden mit festen Endpunkten im Konfigurationsraum ist die physikalische Bewegung diejenige, deren Wirkungsfunktional eine verschwindende erste Variation aufweist, wodurch die Wirkung stationär wird.

Maupertuis-Prinzip der verkürzten Wirkung

Eine frühere variationale Form hält die Energie fest und macht die verkürzte Wirkung über den Pfad im Konfigurationsraum stationär, was unter geeigneten Bedingungen dem Hamiltonschen Prinzip äquivalent ist.

Clinical relevance

Das Wirkungsprinzip ist die konzeptionelle Brücke von der klassischen zur modernen Physik: Es verallgemeinert sich zur relativistischen Feldtheorie und bildet die Grundlage von Feynmans Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik, wo jeder Pfad gewichtet durch die Wirkung beiträgt.

History

Maupertuis schlug in den 1740er Jahren ein Prinzip der kleinsten Wirkung aus metaphysischen Gründen vor, das Euler und Lagrange durch die Variationsrechnung auf eine solide mathematische Grundlage stellten. Hamilton reformulierte es in den 1830er Jahren zum modernen Prinzip der stationären Wirkung über die Zeit, das zum vereinheitlichenden Ausgangspunkt sowohl der Lagrange- als auch der Hamiltonschen Mechanik wurde.

Key figures

• Pierre Louis Maupertuis
• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• lanczos1970
• goldstein2002

Frequently asked questions

Wird die Wirkung tatsächlich minimiert?

Oft, aber nicht immer. Die definierende Bedingung ist, dass die Wirkung stationär ist, was bedeutet, dass ihre erste Variation verschwindet; bei ausreichend langen Pfaden kann der stationäre Punkt ein Sattelpunkt und kein Minimum sein.

Wie hängt das Prinzip mit der Quantenmechanik zusammen?

In Feynmans Pfadintegral summiert eine Quantenamplitude Beiträge von allen Pfaden, gewichtet mit dem Exponential der Wirkung; der klassische Pfad der kleinsten Wirkung entsteht dort, wo nahegelegene Beiträge konstruktiv addieren.