Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ändert, sobald bekannt ist, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist, und Unabhängigkeit beschreibt den Spezialfall, in dem das Wissen über ein Ereignis nichts über ein anderes aussagt. Diese Konzepte erklären zusammen mit dem Bayes-Theorem, wie Evidenz Überzeugungen aktualisiert und liegen der Interpretation diagnostischer Tests in der Medizin zugrunde.

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A gegeben Ereignis B ist die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, wenn B bekanntermaßen eingetreten ist, definiert als die Wahrscheinlichkeit von A und B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von B; A und B sind unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit von A ist.

Scope

Der Eintrag behandelt die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, die Multiplikationsregel, die statistische Unabhängigkeit, den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und das Bayes-Theorem. Er verbindet diese mit der Bewertung diagnostischer Tests, bei denen der prädiktive Wert eines Ergebnisses von der Prävalenz der Krankheit abhängt. Es handelt sich um eine methodische Referenz, nicht um eine klinische Leitlinie zur Anordnung oder zum Handeln bei spezifischen Tests.

Core questions

• Wie verändert das Wissen über ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit eines anderen?
• Wann sind zwei Ereignisse unabhängig, und was bedeutet das?
• Wie kehrt das Bayes-Theorem eine bedingte Wahrscheinlichkeit um?
• Warum bedeuten positive Testergebnisse bei unterschiedlichen Prävalenzen unterschiedliche Dinge?

Key concepts

• Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Multiplikationsregel
• Statistische Unabhängigkeit
• Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
• Bayes-Theorem
• A-priori- und A-posteriori-Wahrscheinlichkeit
• Prävalenz und prädiktiver Wert
• Sensitivität und Spezifität

Mechanisms

Die Konditionierung auf ein Ereignis beschränkt die Aufmerksamkeit auf die damit übereinstimmenden Ergebnisse, sodass die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von A und B durch die Wahrscheinlichkeit von B reskaliert. Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn diese Konditionierung die Wahrscheinlichkeit unverändert lässt, was gleichbedeutend damit ist, dass ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit in das Produkt der Randwahrscheinlichkeiten zerfällt. Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit konstruiert die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus seinen bedingten Wahrscheinlichkeiten über eine Partition des Stichprobenraums, und das Bayes-Theorem invertiert eine bedingte Wahrscheinlichkeit, indem es die Wahrscheinlichkeit einer Ursache bei einem beobachteten Effekt in Bezug auf die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit und die A-priori-Wahrscheinlichkeit ausdrückt. Bei diagnostischen Tests ist dies der Grund, warum die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient mit einem positiven Ergebnis tatsächlich die Krankheit hat (der prädiktive Wert), nicht nur von der Sensitivität und Spezifität des Tests, sondern auch von der vorherigen Prävalenz abhängt.

Clinical relevance

Die bedingte Wahrscheinlichkeit und das Bayes-Theorem beschreiben, wie ein Testergebnis die Wahrscheinlichkeit einer Krankheit revidiert, weshalb identische Tests in Umgebungen mit hoher und niedriger Prävalenz unterschiedliche prädiktive Werte ergeben. Dieser Eintrag erklärt diese Argumentation als Methodik und ist keine Anleitung zur Behandlung eines einzelnen Patienten.

History

Die Idee der Aktualisierung von Wahrscheinlichkeiten im Lichte von Evidenz wird Thomas Bayes zugeschrieben, dessen Aufsatz posthum von Richard Price im Jahr 1763 veröffentlicht und von Laplace verallgemeinert wurde. Das daraus resultierende Bayes-Theorem wurde zentral für die Statistik und im zwanzigsten Jahrhundert für die formale Bewertung diagnostischer Tests, wo es Sensitivität, Spezifität und Prävalenz mit dem prädiktiven Wert verknüpft.

Key figures

• Thomas Bayes
• Richard Price
• Pierre-Simon Laplace

Seminal works

• bayes-1763
• altman-bland-1994-diagnostic
• ross-2014

Frequently asked questions

Was ist der Unterschied zwischen bedingter Wahrscheinlichkeit und gemeinsamer Wahrscheinlichkeit?

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass zwei Ereignisse beide eintreten, während die bedingte Wahrscheinlichkeit die Chance ist, dass eines eintritt, vorausgesetzt, das andere ist bereits eingetreten; die bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit geteilt durch die Wahrscheinlichkeit des konditionierenden Ereignisses.

Warum kann ein positiver diagnostischer Test immer noch bedeuten, dass die Krankheit unwahrscheinlich ist?

Nach dem Bayes-Theorem hängt die Wahrscheinlichkeit einer Krankheit nach einem positiven Ergebnis von der Prävalenz ab; wenn eine Krankheit selten ist, erzeugt selbst ein genauer Test viele falsch positive Ergebnisse im Verhältnis zu echten positiven Ergebnissen, sodass der prädiktive Wert eines positiven Ergebnisses gering sein kann.