Binomial- und Poisson-Verteilungen

Die Binomial- und Poisson-Verteilungen sind die beiden am häufigsten verwendeten diskreten Verteilungen in der Biostatistik. Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge bei einer festen Anzahl unabhängiger Ja/Nein-Versuche, während die Poisson-Verteilung die Anzahl der Ereignisse beschreibt, die in einem festen Zeit- oder Raumintervall auftreten, wenn Ereignisse mit einer konstanten Durchschnittsrate geschehen. Beide modellieren Zählwerte, die in Gesundheitsdaten weit verbreitet sind.

Definition

Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, eine gegebene Anzahl von Erfolgen in einer festen Anzahl n unabhängiger Versuche zu erzielen, wobei jeder Versuch die Erfolgswahrscheinlichkeit p hat; die Poisson-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit einer gegebenen Anzahl von Ereignissen in einem festen Intervall an, wenn Ereignisse unabhängig mit einer konstanten mittleren Rate auftreten.

Scope

Der Eintrag behandelt die Annahmen, Parameter, den Mittelwert und die Varianz der Binomial- und Poisson-Verteilungen, die jeweiligen Beschreibungsbereiche, die Beziehung zwischen ihnen und ihre Normalapproximationen. Er veranschaulicht ihre Anwendung für Proportionen und Ereignisraten in der Gesundheitsforschung. Es handelt sich um eine methodische Referenz und nicht um eine klinische Leitlinie.

Core questions

• Welche Annahmen definieren eine binomiale Situation im Vergleich zu einer Poisson-Situation?
• Wie werden Mittelwert und Varianz jeder Verteilung bestimmt?
• Wann approximiert die Poisson-Verteilung die Binomialverteilung?
• Wann kann jede durch die Normalverteilung approximiert werden?

Key concepts

• Bernoulli-Versuch
• Anzahl der Versuche n und Erfolgswahrscheinlichkeit p
• Binomialer Mittelwert und Varianz
• Poisson-Ratenparameter
• Gleichheit von Poisson-Mittelwert und Varianz
• Poisson-Approximation der Binomialverteilung
• Normalapproximation
• Zählwerte, Proportionen und Ereignisraten

Mechanisms

Eine Binomialverteilung ergibt sich aus einer festen Anzahl n unabhängiger Versuche, wobei jeder ein Bernoulli-Versuch mit der gleichen Erfolgswahrscheinlichkeit p ist; die Anzahl der Erfolge hat einen Mittelwert von np und eine Varianz von np(1-p). Die Poisson-Verteilung ergibt sich als Grenzwert der Binomialverteilung, wenn n groß und p klein ist, während ihr Produkt (der erwartete Zählwert) moderat bleibt, sodass sie seltene Ereignisse über viele Gelegenheiten modelliert; sie hat einen einzigen Parameter, der sowohl ihrem Mittelwert als auch ihrer Varianz entspricht, was Ereignisse widerspiegelt, die mit einer konstanten Rate auftreten. Wenn n groß ist oder wenn der Poisson-Mittelwert groß ist, können beide Verteilungen durch eine Normalverteilung approximiert werden, weshalb Methoden für Proportionen und Raten oft normalbasierte Konfidenzintervalle und Tests verwenden. In der Gesundheitsforschung liegt die Binomialverteilung der Analyse von Proportionen zugrunde, wie z. B. der Anzahl der Patienten, die auf eine Behandlung ansprechen, während die Poisson-Verteilung Zählwerten und Inzidenzraten zugrunde liegt, wie z. B. der Anzahl neuer Fälle in einer Population über einen bestimmten Zeitraum.

Clinical relevance

Binomial- und Poisson-Modelle untermauern die Analyse von Proportionen und Ereignisraten, die in der gesamten Gesundheitsliteratur berichtet werden. Das Erkennen, welches Modell anwendbar ist, unterstützt das kritische Lesen von Ergebnissen zu Ansprechraten und Krankheitsinzidenz. Dieser Eintrag ist methodisch und gibt keine Anweisungen zur individuellen Versorgung.

Epidemiology

Die Poisson-Verteilung ist das natürliche Modell für Zählwerte relativ seltener Ereignisse, die sich über Personenjahre akkumulieren, und ist daher grundlegend für die Analyse von Inzidenzraten in der Epidemiologie; die Binomialverteilung liegt der Analyse von Risiken und Proportionen zugrunde, wie z. B. der kumulativen Inzidenz in einer geschlossenen Gruppe.

History

Die Binomialverteilung wurde von Jacob Bernoulli in seiner 1713 veröffentlichten Analyse wiederholter Versuche untersucht, und de Moivre leitete später ihre Normalapproximation ab. Siméon Denis Poisson führte die nach ihm benannte Verteilung 1837 als Grenzwert der Binomialverteilung für seltene Ereignisse ein. Beide wurden zu Standardwerkzeugen für die Modellierung von Zählwerten, als die Statistik auf Medizin und öffentliche Gesundheit angewendet wurde.

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Siméon Denis Poisson
• Abraham de Moivre

Seminal works

• rosner-2015
• armitage-2002
• ross-2014

Frequently asked questions

Woher weiß ich, ob ich ein Binomial- oder ein Poisson-Modell verwenden soll?

Verwenden Sie die Binomialverteilung, wenn es eine feste Anzahl unabhängiger Ja/Nein-Versuche gibt und Sie Erfolge zählen; verwenden Sie die Poisson-Verteilung, wenn Sie Ereignisse zählen, die über ein kontinuierliches Zeit- oder Raumintervall mit einer annähernd konstanten Rate auftreten, ohne eine feste Anzahl von Versuchen.

Warum ist der Mittelwert der Poisson-Verteilung gleich ihrer Varianz?

Dies ergibt sich aus der Struktur der Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung für seltene Ereignisse; diese Gleichheit ist auch eine praktische Überprüfung, da Zähldaten, deren Varianz ihren Mittelwert stark übersteigt (Überdispersion), möglicherweise nicht zu einem einfachen Poisson-Modell passen.