Normalverteilung

Die Normalverteilung, auch Gauß-Verteilung oder Glockenkurve genannt, ist eine kontinuierliche Verteilung, die symmetrisch um ihren Mittelwert ist und vollständig durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung beschrieben wird. Sie ist die wichtigste Verteilung in der Biostatistik, da viele Messungen ihr annähernd folgen und Stichprobenmittelwerte dazu tendieren, was sie zur Grundlage der meisten Standardinferenzen macht.

Definition

Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer symmetrischen, glockenförmigen Dichte, die vollständig durch zwei Parameter bestimmt wird: ihren Mittelwert (Zentrum) und ihre Standardabweichung (Streuung).

Scope

Der Eintrag behandelt die Form und Parameter der Normalverteilung, die empirische Regel, die Standardabweichungen mit der Abdeckung in Beziehung setzt, die Standardnormalverteilung und z-Werte, Referenzbereiche sowie die Unterscheidung zwischen einer Normalverteilung von Individuen und einer Normalverteilung von Stichprobenmittelwerten. Es handelt sich um eine methodische Referenz, die keine klinischen Schwellenwerte für einzelne Patienten bereitstellt.

Core questions

• Welche Form hat die Normalverteilung und was bestimmt sie?
• Wie viel von der Verteilung liegt innerhalb einer bestimmten Anzahl von Standardabweichungen?
• Was ist ein z-Wert und wie funktioniert die Standardisierung?
• Wann ist es angemessen, Normalität anzunehmen?

Key concepts

• Mittelwert und Standardabweichung
• Symmetrie und Glockenform
• Empirische (68-95-99.7) Regel
• Standardnormalverteilung
• z-Wert und Standardisierung
• Referenzbereich
• Schiefe und Abweichungen von der Normalität

Mechanisms

Eine Normalverteilung wird durch zwei Zahlen festgelegt: den Mittelwert, der ihr Zentrum bestimmt, und die Standardabweichung, die ihre Breite festlegt. Etwa 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, etwa 95 % innerhalb von zwei und etwa 99,7 % innerhalb von drei – die empirische Regel, die der Verteilung ihre praktische Nützlichkeit verleiht. Jede normale Variable kann standardisiert werden, indem der Mittelwert subtrahiert und durch die Standardabweichung geteilt wird, um einen z-Wert zu erhalten, der der Standardnormalverteilung (Mittelwert 0, Standardabweichung 1) folgt. Dies ermöglicht es, einen einzigen Satz von Tabellen oder Formeln für alle Normalverteilungen zu verwenden. In der medizinischen Forschung werden Referenzbereiche für Messungen wie Blutwerte häufig aus den zentralen 95 % einer angenommenen Normalverteilung konstruiert, und viele statistische Tests gehen davon aus, dass entweder die Daten oder die Stichprobenverteilung einer Statistik annähernd normal sind.

Clinical relevance

Viele biologische Messungen werden unter der Annahme einer annähernden Normalität zusammengefasst und verglichen, und Referenzbereiche werden häufig daraus abgeleitet. Daher hilft das Verständnis der Verteilung bei der Interpretation von Labor- und Studienergebnissen. Dieser Eintrag beschreibt die Verteilung als Methodik und legt keine diagnostischen Grenzwerte für Individuen fest.

History

Die glockenförmige Kurve entstand im achtzehnten Jahrhundert aus de Moivres Annäherung an die Binomialverteilung und wurde von Laplace und Gauß weiterentwickelt, wobei letzterer sie bei der Analyse von Messfehlern verwendete, weshalb sie oft als Gauß-Verteilung bezeichnet wird. Im neunzehnten und zwanzigsten Jahrhundert wurde sie zum Standardmodell für gemessene biologische Größen und zum Eckpfeiler der klassischen statistischen Inferenz.

Debates

Wann führt die Annahme der Normalität zu Fehlern?

Viele biologische Variablen sind eher schief als symmetrisch, und ihre Behandlung als normal kann Referenzbereiche und Tests verzerren; ob die Daten transformiert, verteilungsfreie Methoden verwendet oder sich auf den zentralen Grenzwertsatz für Mittelwerte verlassen werden soll, ist eine wiederkehrende methodische Entscheidung.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Pierre-Simon Laplace
• Abraham de Moivre

Seminal works

• altman-bland-1995-normal
• rosner-2015

Frequently asked questions

Was ist die 68-95-99.7-Regel?

Für eine Normalverteilung liegen etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, etwa 95 % innerhalb von zwei und etwa 99,7 % innerhalb von drei; diese empirische Regel verbindet die Standardabweichung direkt mit dem Anteil der abgedeckten Werte.

Müssen Daten normalverteilt sein, um die Normalverteilung in der Inferenz zu verwenden?

Nicht immer; viele Methoden beruhen darauf, dass die Stichprobenverteilung eines Mittelwerts nach dem zentralen Grenzwertsatz annähernd normal ist, was auch dann zutreffen kann, wenn einzelne Messungen nicht normalverteilt sind, vorausgesetzt, die Stichprobe ist groß genug.