Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie sind die grundlegenden Regeln, die bestimmen, wie sich die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen kombinieren und wie Zufallsvariablen beschrieben werden. Sie definieren, was eine Wahrscheinlichkeit ist, wie Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen addiert und multipliziert werden und wie eine Zufallsgröße durch ihre Verteilung, ihren Erwartungswert und ihre Varianz zusammengefasst wird – die Bausteine, auf denen jede spätere statistische Methode aufbaut.

Definition

Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die einem Ereignis zugewiesen wird, um auszudrücken, wie wahrscheinlich dessen Eintreten ist, wobei die Axiome der Nicht-Negativität, der Gesamtwahrscheinlichkeit eins über dem Stichprobenraum und der Additivität für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse eingehalten werden.

Scope

Der Eintrag behandelt den Stichprobenraum, Ereignisse, die Wahrscheinlichkeitsaxiome, die Additions- und Multiplikationsregeln, komplementäre Ereignisse und das Konzept einer Zufallsvariablen mit ihrem Erwartungswert und ihrer Varianz. Er führt die Unterscheidung zwischen diskreten und kontinuierlichen Zufallsvariablen ein. Er behandelt Wahrscheinlichkeit als methodische Grundlage und gibt keine klinischen Empfehlungen.

Core questions

• Was ist ein Stichprobenraum und was gilt als Ereignis?
• Wie addieren oder multiplizieren sich Wahrscheinlichkeiten kombinierter Ereignisse?
• Was ist eine Zufallsvariable und wie wird ihre Verteilung zusammengefasst?
• Wie werden Erwartungswert und Varianz definiert und interpretiert?

Key concepts

• Stichprobenraum
• Ereignis
• Wahrscheinlichkeitsaxiome
• Additionsregel
• Multiplikationsregel
• Komplementäres Ereignis
• Zufallsvariable
• Erwartungswert (Mittelwert)
• Varianz und Standardabweichung

Mechanisms

Der Stichprobenraum listet alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsprozesses auf, und ein Ereignis ist eine Untermenge davon. Kolmogorows Axiome fordern, dass jedes Ereignis eine nicht-negative Wahrscheinlichkeit hat, dass der gesamte Stichprobenraum die Wahrscheinlichkeit eins hat und dass die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung sich gegenseitig ausschließender Ereignisse die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ist. Daraus folgen die Komplementärregel (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist eins minus seiner Wahrscheinlichkeit), die allgemeine Additionsregel für die Vereinigung zweier Ereignisse und die Multiplikationsregel für das gemeinsame Eintreten. Eine Zufallsvariable weist jedem Ergebnis eine Zahl zu; ihr Erwartungswert ist der wahrscheinlichkeitsgewichtete Durchschnitt dieser Zahlen, und ihre Varianz misst deren Streuung um den Erwartungswert. Diese Definitionen gelten für diskrete Variablen, deren Werte aufgelistet werden können, und kontinuierliche Variablen, die durch eine Dichte beschrieben werden.

Clinical relevance

Die Regeln der Wahrscheinlichkeit bestimmen, wie sich Unsicherheiten bezüglich Diagnosen, Risiken und Testergebnissen kombinieren, sodass ein fundiertes Verständnis dieser Regeln die Interpretation quantitativer Evidenz in den Gesundheitswissenschaften unterstützt. Dieser Eintrag dient als methodischer Hintergrund und leitet keine individuellen klinischen Entscheidungen an.

History

Die frühe Wahrscheinlichkeitstheorie entstand aus der Korrespondenz des siebzehnten Jahrhunderts über Glücksspiele und wurde von Bernoulli und Laplace systematisiert. Die moderne axiomatische Grundlage, die Wahrscheinlichkeit als ein Maß auf einem Stichprobenraum definiert, wurde 1933 von Andrey Kolmogorov dargelegt, wodurch das Feld vereinheitlicht und die heute in der Statistik verwendete rigorose Basis geschaffen wurde.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Pierre-Simon Laplace
• Jacob Bernoulli

Seminal works

• kolmogorov-1956
• ross-2014
• rosner-2015

Frequently asked questions

Was bedeutet es, wenn zwei Ereignisse sich gegenseitig ausschließen?

Zwei Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können; für solche Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines von beiden eintritt, einfach die Summe ihrer individuellen Wahrscheinlichkeiten.

Was ist der Unterschied zwischen Erwartungswert und Varianz?

Der Erwartungswert ist der langfristige Durchschnittswert einer Zufallsvariablen, während die Varianz misst, wie stark ihre Werte um diesen Durchschnitt streuen; die Quadratwurzel der Varianz ist die Standardabweichung.