الإحداثيات المعممة والقيود
الإحداثيات المعممة هي أي متغيرات مستقلة تحدد تكوين النظام، ويتم اختيارها لاستيعاب القيود وتقليل عدد درجات الحرية التي يجب تتبعها.
Definition
الإحداثيات المعممة هي مجموعة دنيا من المعلمات المستقلة التي تحدد بشكل فريد تكوين نظام ميكانيكي بما يتوافق مع قيوده، مما يقلل وصفه إلى العدد الحقيقي لدرجات حريته.
Scope
يغطي هذا الموضوع اختيار الإحداثيات المعممة، ومفهوم فضاء التكوين ودرجات الحرية، وتصنيف القيود إلى مقيدة (holonomic) أو غير مقيدة (non-holonomic)، ومستقلة عن الزمن (scleronomic) أو معتمدة على الزمن (rheonomic). ويتناول كيفية إزالة القيود المقيدة باختيار إحداثيات مناسبة، وكيف يتعامل مبدأ الشغل الافتراضي ومبدأ دالمبرت مع قوى القيود.
Core questions
- كيف يقلل اختيار الإحداثيات المعممة عدد المتغيرات في مشكلة ما؟
- ما الذي يميز القيود المقيدة عن القيود غير المقيدة؟
- كيف يزيل مبدأ دالمبرت والشغل الافتراضي قوى القيود المجهولة؟
Key concepts
- الإحداثيات المعممة
- درجات الحرية
- فضاء التكوين
- القيود المقيدة مقابل القيود غير المقيدة
- الإزاحة الافتراضية والشغل الافتراضي
- قوى القيود
Key theories
- القيود المقيدة ودرجات الحرية
- يمكن التعبير عن القيود المقيدة كمعادلات بين الإحداثيات والزمن؛ يقلل كل منها درجات الحرية بواحد ويمكن استيعابه باختيار إحداثيات معممة مناسبة.
- مبدأ دالمبرت والشغل الافتراضي
- من خلال السماح فقط بالإزاحات الافتراضية المتوافقة مع القيود، تسقط قوى القيود، التي لا تقوم بأي شغل افتراضي، تاركةً معادلات الحركة بدلالة القوى المطبقة وحدها.
Clinical relevance
إن اختيار الإحداثيات المعممة التي تحترم القيود هو ما يجعل ديناميكيات الوصلات، والأذرع الروبوتية، وسلاسل التروس، والآليات المفصلية قابلة للمعالجة، والتمييز بين القيود المقيدة وغير المقيدة حاسم للتحكم في الأنظمة المتدحرجة وذات العجلات.
History
قلل مبدأ دالمبرت عام 1743 الديناميكا إلى مشكلة في الاستاتيكا من خلال الجمع بين القوى القصورية والقوى المطبقة، وبنى لاغرانج عليه لتطوير طريقة الإحداثيات المعممة التي تزيل قوى القيود. وقد تم صقل التصنيف المنهجي للقيود، بما في ذلك مصطلح غير المقيدة، في أواخر القرن التاسع عشر بواسطة هيرتز وآخرين.
Key figures
- Jean le Rond d'Alembert
- Joseph-Louis Lagrange
- Heinrich Hertz
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- lanczos1970
Frequently asked questions
- ما الذي يجعل القيد غير مقيد؟
- لا يمكن كتابة القيد غير المقيد كعلاقة جبرية بين الإحداثيات وحدها؛ فهو عادةً ما يتضمن السرعات بطريقة غير قابلة للتكامل، كما هو الحال مع عجلة تتدحرج دون انزلاق، ولا يمكن إزالته بتغيير الإحداثيات.
- لماذا من الملائم إزالة قوى القيود؟
- عادةً ما تكون قوى القيود مجهولة وغير مهمة، مثل القوة العمودية من مسار. ولأنها لا تقوم بأي شغل تحت الإزاحات الافتراضية المتوافقة مع القيود، فإن طريقة لاغرانج تزيلها من معادلات الحركة تلقائيًا.