ميكانيكا لاغرانج
تعيد ميكانيكا لاغرانج صياغة الديناميكا الكلاسيكية بدلالة الطاقة ودالة قياسية واحدة، وهي اللاغرانجية، مستمدةً معادلات الحركة من مبدأ أن الفعل ثابت.
Definition
ميكانيكا لاغرانج هي صياغة للميكانيكا الكلاسيكية يتم فيها الحصول على ديناميكيات النظام من خلال اشتراط أن يكون الفعل، وهو التكامل الزمني للاغرانجية L = T − V، ثابتًا، مما ينتج عنه معادلات أويلر-لاغرانج للحركة.
Scope
يغطي هذا المجال الأساس التبايني للميكانيكا التحليلية: مبدأ الفعل الأقل، ومعادلات أويلر-لاغرانج، واستخدام الإحداثيات المعممة للتعامل مع القيود بأناقة، والصلة العميقة بين التناظرات المستمرة وقوانين الحفظ التي يعبر عنها مبرهنة نويثر. ويوفر إطارًا مستقلاً عن الإحداثيات يتجاوز بكثير الجسيمات النقطية.
Sub-topics
Core questions
- كيف يمكن اشتقاق معادلات الحركة من دالة قياسية واحدة ومبدأ تبايني؟
- لماذا تُعد الإحداثيات المعممة وصفًا أقوى من القوى الديكارتية للأنظمة المقيدة؟
- ما هي العلاقة الدقيقة بين تناظرات النظام وكمياته المحفوظة؟
Key concepts
- لاغرانجية L = T − V
- تكامل الفعل
- الإحداثيات والسرعات المعممة
- القيود الهولونومية
- الإحداثيات الدورية والزخم المحفوظ
- التناظر المستمر
Key theories
- مبدأ الفعل الأقل (مبدأ هاميلتون)
- المسار الفعلي للنظام بين تكوينين يجعل تكامل الفعل ثابتًا، ومنه يمكن اشتقاق كل الميكانيكا دون الإشارة إلى القوى.
- معادلات أويلر-لاغرانج
- يتطلب جعل الفعل ثابتًا مجموعة من المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية، واحدة لكل إحداثي معمّم، وهي مكافئة لقوانين نيوتن ولكنها مستقلة عن الإحداثيات.
- مبرهنة نويثر
- كل تناظر مستمر للفعل يتوافق مع كمية محفوظة، لذا فإن الثبات تحت ترجمة الزمن، والترجمة المكانية، والدوران يعطي حفظ الطاقة، والزخم، والزخم الزاوي.
Clinical relevance
تُعد طريقة لاغرانج الأداة العملية لاشتقاق معادلات الحركة في الروبوتات، وديناميكيات الأجسام المتعددة والمركبات، ونظرية التحكم، والأنظمة الميكانيكية المقيدة، وينتقل هيكلها التبايني مباشرة إلى نظرية المجال وميكانيكا الكم.
History
قام لاغرانج بتوحيد الميكانيكا التحليلية في كتابه Mécanique analytique عام 1788، مستبعدًا الرسوم البيانية الهندسية لصالح الطرق التباينية الجبرية المبنية على أعمال سابقة لأويلر وموبيرتوي حول الفعل الأقل. أعاد هاميلتون صياغة المبدأ في شكله الحديث للفعل الثابت في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وكشفت مبرهنة إيمي نويثر عام 1918 عن الأصل التناظري العميق لقوانين الحفظ.
Key figures
- Joseph-Louis Lagrange
- Leonhard Euler
- William Rowan Hamilton
- Emmy Noether
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- landau1976
- arnold1989
Frequently asked questions
- هل ميكانيكا لاغرانج أقوى من ميكانيكا نيوتن؟
- إنهما متكافئتان فيزيائيًا للأنظمة التي تصفانها، ولكن صياغة لاغرانج غالبًا ما تكون أكثر ملاءمة بكثير: فهي تستخدم الطاقات القياسية، وتتعامل مع القيود تلقائيًا من خلال الإحداثيات المعممة، وتعمم بشكل طبيعي على المجالات وعلى نظرية الكم.
- هل يعني 'الفعل الأقل' أن الفعل دائمًا ما يتم تقليله؟
- ليس بالضرورة. الفعل ثابت على طول المسار الفيزيائي، والذي عادة ما يكون حدًا أدنى للمسارات القصيرة ولكنه يمكن أن يكون نقطة سرج؛ البيان الدقيق هو أن تباينه الأول يتلاشى.