معادلات أويلر-لاغرانج
معادلات أويلر-لاغرانج هي المعادلات التفاضلية للحركة التي تنتج عن اشتراط أن يكون الفعل ساكنًا، وتوجد معادلة واحدة لكل إحداثي معمّم.
Definition
معادلات أويلر-لاغرانج هي مجموعة من المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية، يتم الحصول عليها بجعل تغير الفعل مساويًا للصفر، والتي تحكم التطور الزمني لكل إحداثي معمّم لنظام ميكانيكي.
Scope
يغطي هذا الموضوع اشتقاق معادلات أويلر-لاغرانج من مبدأ هاميلتون، وشكلها لأنظمة الإحداثيات المعمّمة، وتعريف الزخم المعمّم (القانوني)، ومعالجة الإحداثيات الدورية التي تؤدي إلى زخوم محفوظة، وتوسيعها لتشمل الأنظمة ذات القيود عبر مضاعفات لاغرانج. وهي تمثل الناتج الحسابي المركزي للميكانيكا اللاغرانجية.
Core questions
- كيف تتبع معادلات أويلر-لاغرانج من شرط الفعل الساكن؟
- ما هو الزخم المعمّم، ومتى يكون محفوظًا؟
- كيف يتم دمج القيود من خلال مضاعفات لاغرانج؟
Key concepts
- الإحداثيات والسرعات المعمّمة
- الزخم المعمّم (القانوني)
- الإحداثيات الدورية (المهملة)
- مضاعفات لاغرانج للقيود
- التكافؤ مع قانون نيوتن الثاني
Key theories
- معادلات أويلر-لاغرانج للحركة
- يتطلب الفعل الساكن، لكل إحداثي معمّم، معادلة تساوي المشتقة الزمنية للزخم المعمّم بالقوة المعمّمة المشتقة من اللاغرانجيان.
- الإحداثيات الدورية والزخوم المحفوظة
- عندما لا يعتمد اللاغرانجيان على إحداثي معين، فإن الزخم المعمّم المقابل يكون محفوظًا، مما يوفر طريقًا مباشرًا لثوابت الحركة.
Clinical relevance
نظرًا لأنها تولد معادلات الحركة مباشرة من الطاقات بأي إحداثيات مناسبة، فإن معادلات أويلر-لاغرانج هي أداة الاشتقاق القياسية في الروبوتات، وديناميكيات الأجسام المتعددة في الفضاء الجوي، وهندسة التحكم، حيث تكون موازين القوى الديكارتية مرهقة.
History
اشتق أويلر المعادلة المركزية لحساب التغيرات في أربعينيات القرن الثامن عشر، وقام لاغرانج بتعميمها وتطبيقها بشكل منهجي على الميكانيكا في كتابه Mécanique analytique عام 1788، مما أعطى المعادلات اسمها المشترك. وقد أوضح إعادة تفسيرها من خلال مبدأ هاميلتون في القرن التاسع عشر أصلها التغيري.
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- arnold1989
Frequently asked questions
- هل معادلات أويلر-لاغرانج مكافئة لقوانين نيوتن؟
- نعم، للأنظمة التي يصفها كلاهما. في الإحداثيات الديكارتية مع اللاغرانجيان T − V، فإنها تعيد إنتاج قانون نيوتن الثاني بدقة، ولكنها صالحة في أي إحداثيات معمّمة وتتعامل مع القيود بشكل أوضح.
- ما هو الزخم المعمّم؟
- هو مشتق اللاغرانجيان بالنسبة لسرعة معمّمة؛ بالنسبة للإحداثيات الديكارتية العادية فإنه يختزل إلى الزخم الخطي المعتاد، ولكن بالنسبة لإحداثي زاوي فإنه يكون زخمًا زاويًا.