حساب التفاضل والتكامل للمتغيرات

يسعى حساب التفاضل والتكامل للمتغيرات إلى إيجاد الدوال التي تزيد من الدوال التكاملية (integral functionals) إلى أقصى حد، مما يعمم عمليات التعظيم والتصغير العادية من النقاط إلى المنحنيات والحقول.

Definition

يدرس حساب التفاضل والتكامل للمتغيرات الدوال التكاملية (functionals)، التي تُسند أرقامًا إلى الدوال، ويسعى إلى إيجاد الدوال التي تكون عندها الدالة التكاملية ثابتة أو تبلغ قيمة قصوى، مع مراعاة الشروط الحدودية والجانبية.

Scope

يغطي هذا المجال اشتقاق معادلات أويلر-لاغرانج كشروط ضرورية للحصول على قيمة قصوى، ومسائل المتغيرات مع القيود والحدود الحرة، وشروط التباين الثاني والتحدب للقيم الدنيا، والطريقة المباشرة لتحديد وجود القيم الدنيا، والصلة بميكانيكا هاميلتون والتحكم الأمثل.

Sub-topics

• الطريقة المباشرة في حساب التفاضل والتكامل للمتغيرات
• معادلة أويلر-لاغرانج
• الأنظمة الهاملتونية (التفاضلية)

Core questions

• ما هي الدوال التي تجعل دالة تكاملية معينة ثابتة؟
• ما هي الشروط الضرورية والكافية لتحديد قيمة دنيا؟
• متى توجد قيمة دنيا بالفعل؟
• كيف ترمز المبادئ المتغيرة قوانين الفيزياء؟

Key theories

معادلات أويلر-لاغرانج

يجب أن تحقق الدالة التي تزيد من دالة تكاملية إلى أقصى حد معادلة أويلر-لاغرانج التفاضلية، وهي النظير المتغير لجعل المشتقة تساوي صفرًا.

الطريقة المباشرة

يتم إثبات وجود قيمة دنيا عن طريق أخذ متتالية مصغرة واستخدام التراص وشبه الاستمرارية السفلية، متجاوزًا الحل الصريح لمعادلة أويلر-لاغرانج.

المبادئ المتغيرة في الفيزياء

يعيد مبدأ هاميلتون للفعل الثابت صياغة الميكانيكا ونظرية المجال كمسائل متغيرة، موحدًا معادلاتها الحاكمة من خلال حساب التفاضل والتكامل للمتغيرات.

Clinical relevance

تعبر الطرق المتغيرة عن القوانين الأساسية في الفيزياء من خلال مبادئ الفعل الأقل والطاقة الدنيا، وهي تدعم التحكم الأمثل، وهندسة الأسطح الدنيا والجيوديسيا، ومعالجة الصور، وطريقة العناصر المحدودة في الهندسة.

History

بدأ الموضوع بمسألة المنحنى البركاني (brachistochrone problem) التي طرحها يوهان برنولي عام 1696. طور أويلر ولاغرانج النظرية العامة ومعادلة أويلر-لاغرانج في القرن الثامن عشر، وأعاد هاميلتون صياغة الميكانيكا بطريقة متغيرة، وأحيت طريقة هيلبرت المباشرة في القرن العشرين ومسألته الثالثة والعشرون نظرية الوجود.

Key figures

• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton
• David Hilbert

Seminal works

• gelfand1963
• courant1953
• dacorogna2008

Frequently asked questions

كيف يختلف حساب التفاضل والتكامل للمتغيرات عن حساب التفاضل والتكامل العادي؟

يجد حساب التفاضل والتكامل العادي النقاط التي تكون فيها الدالة أكبر أو أصغر، بينما يجد حساب التفاضل والتكامل للمتغيرات دوالًا كاملة، مثل المنحنيات أو الأسطح، التي تزيد من التكامل إلى أقصى حد. المجهول هو دالة بدلاً من رقم، والشرط للحصول على قيمة قصوى هو معادلة تفاضلية.

ما هو مبدأ الفعل الأقل؟

إنه البيان الفيزيائي بأن حركة النظام تجعل كمية تسمى الفعل ثابتة. يؤدي تطبيق حساب التفاضل والتكامل للمتغيرات على الفعل إلى معادلات الحركة، لذلك يمكن اشتقاق الكثير من الفيزياء الكلاسيكية والكمية من مبدأ متغير واحد.