معادلة أويلر-لاغرانج
معادلة أويلر-لاغرانج هي المعادلة التفاضلية التي يجب أن تحققها أي دالة تعمل على تحقيق أقصى قيمة لدالة تكاملية، وهي الشرط الضروري المركزي في حساب التفاضل والتكامل للمتغيرات.
Definition
بالنسبة لدالة تكاملية تُعطى بواسطة تكامل لاغرانجية تعتمد على دالة ومشتقها، تنص معادلة أويلر-لاغرانج على أن المشتق الجزئي للاغرانجية بالنسبة للدالة يساوي مشتقها بالنسبة للمتغير المستقل لمشتقها الجزئي بالنسبة لمشتق الدالة.
Scope
يغطي هذا الموضوع التباين الأول للدالة وشرط تلاشيه، واشتقاق معادلة أويلر-لاغرانج، والمبرهنة الأساسية لحساب التفاضل والتكامل للمتغيرات، والشروط الحدودية الطبيعية والأساسية، والتكاملات الأولى مثل متطابقة بلترامي، والتعميمات لعدة دوال، والمشتقات العليا، والتكاملات المتعددة.
Core questions
- ما هي المعادلة التي يجب أن يحققها المتطرف لدالة تكاملية؟
- كيف يُشتق الشرط من التباين الأول؟
- ما هي الشروط الحدودية التي تصاحب المعادلة؟
- متى تبسط التكاملات الأولى المعادلة الناتجة؟
Key theories
- التباين الأول والثبات
- يؤدي تعيين التباين الأول لدالة تكاملية إلى الصفر لجميع الاضطرابات المسموح بها، جنبًا إلى جنب مع المبرهنة الأساسية لحساب التفاضل والتكامل للمتغيرات، إلى معادلة أويلر-لاغرانج.
- الشروط الحدودية الطبيعية
- عندما تكون النقاط النهائية حرة وليست ثابتة، يفرض التباين الأول المتلاشي شروطًا حدودية طبيعية إضافية على المتطرف تتجاوز المعادلة التفاضلية نفسها.
- التكاملات الأولى ومتطابقة بلترامي
- عندما لا تعتمد اللاغرانجية بشكل صريح على المتغير المستقل، فإن كمية محفوظة، وهي متطابقة بلترامي، تختزل المعادلة من الرتبة الثانية إلى معادلة من الرتبة الأولى.
Clinical relevance
تحول معادلة أويلر-لاغرانج المبادئ التباينية إلى معادلات تفاضلية قابلة للحل، مما ينتج معادلات الحركة في ميكانيكا لاغرانج، ومعادلات الجيوديسية في الهندسة، والمعادلات الحاكمة للمرونة، والبصريات، ونظرية المجال.
History
اشتق أويلر المعادلة هندسيًا في عام 1744، وأعاد لاغرانج صياغة الاشتقاق من خلال طريقته الجبرية للتغيرات حوالي عام 1755، مما أعطى المعادلة شكلها واسمها الحديثين. ربطت نوثر لاحقًا تماثلات اللاغرانجية بالكميات المحفوظة من خلال المعادلة.
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- Emmy Noether
- Eugenio Beltrami
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- courant1953
Frequently asked questions
- لماذا تعتبر معادلة أويلر-لاغرانج شرطًا ضروريًا فقط؟
- إنها تحدد الدوال التي تكون فيها الدالة التكاملية ثابتة، وهي نظير النقطة الحرجة، ولكن هذه النقطة قد تكون حدًا أدنى، أو حدًا أقصى، أو لا هذا ولا ذاك. يتطلب تحديد أي منها فحص التباين الثاني أو تطبيق حجج التحدب أو الطريقة المباشرة.
- ما هو الشرط الحدودي الطبيعي؟
- عندما لا تكون نقاط نهاية الدوال المتنافسة ثابتة، فإن اشتراط تلاشي التباين الأول يفرض شرطًا إضافيًا عند تلك النقاط النهائية، مشتقًا من الحدود الطرفية. تظهر هذه الشروط الحدودية الطبيعية تلقائيًا من المبدأ التبايني بدلاً من فرضها.