切空间与向量场

切空间为流形的每个点附加了一个速度向量空间，而向量场则在流形上平滑地分配了这种速度，编码了流和无穷小对称性。

Definition

光滑流形上某一点的切空间是通过该点的曲线的速度向量所构成的向量空间（等效地，该点光滑函数的导子）；向量场是切向量到每个点的光滑分配，即切丛的一个截面。

Scope

本主题定义了切空间——通过曲线的速度向量、导子或与变换兼容的元组等效地定义——并将切空间组装成切丛。它发展了光滑映射的微分、作为切丛截面的向量场、它们的积分曲线和流、李括号和李导数，以及关于分布可积性的Frobenius定理。余切空间和1-形式作为对偶结构出现，引向微分形式。

Core questions

• 切向量的等效定义是什么，它们为何一致？
• 光滑映射的微分如何作用于切空间？
• 向量场如何产生流，李括号衡量了两个流的什么？
• 何时可以将切分布族积分成子流形（Frobenius定理）？

Key concepts

• 切空间和作为导子的切向量
• 切丛和光滑映射的微分
• 向量场、积分曲线和流
• 李括号和李导数
• 分布和Frobenius可积性定理

Clinical relevance

切向量和向量场形式化了速度、力以及无穷小对称性；它们是流形上动力系统、李群的李代数以及黎曼几何中测地线和曲率构造的基础。

History

切空间作为导子的内在、无坐标定义出现于20世纪中叶，建立在李的连续变换群理论和Cartan的微分形式微积分之上，赋予了微分几何现代的函子化表述。

Key figures

• Élie Cartan
• Sophus Lie
• John M. Lee

Seminal works

• lee2012
• warner1983

Frequently asked questions

为什么将切向量定义为导子？

导子定义是内在且无坐标的：切向量是作用于光滑函数并满足莱布尼茨法则的线性算子，这避免了对任何嵌入的引用，并适用于抽象流形。

两个向量场的李括号衡量了什么？

它衡量了两个向量场的流不交换的程度；括号为零意味着流可以按任意顺序进行，以达到相同的点。