微分几何

微分几何利用微积分工具研究光滑空间——曲线、曲面和流形，处理在局部看起来像欧几里得空间但整体可能弯曲的空间上的曲率、切线和积分。

Definition

微分几何是利用微分和积分微积分研究光滑流形及其上的几何结构——切空间、向量场、微分形式和曲率——的学科。

Scope

该领域涵盖光滑（可微）范畴：流形和光滑映射、切空间和余切空间、向量场和流、微分形式以及通过斯托克斯定理进行的积分，以及空间中曲线和曲面的经典几何，包括第一和第二基本形式以及高斯曲率。它提供了流形上的微积分，黎曼几何在此基础上赋予度量，并排除了代数拓扑的纯拓扑不变量和代数几何的代数簇。

Sub-topics

• curves and surfaces
• differentiable manifolds
• differential forms
• tangent spaces and vector fields

Core questions

• 如何在仅局部欧几里得的空间上内在地定义微积分？
• 曲率对于曲线、曲面和一般流形意味着什么？
• 微分形式如何通过斯托克斯定理统一梯度、旋度、散度和微积分基本定理？
• 哪些几何量是曲面固有的，哪些取决于其在空间中的嵌入方式？

Key concepts

• 光滑流形和图册
• 切空间和余切空间、向量场和流
• 微分形式、外微分和斯托克斯定理
• 曲面的第一和第二基本形式
• 高斯曲率和平均曲率

Clinical relevance

微分几何是广义相对论、规范理论和连续介质力学的数学语言，并提供了黎曼几何、整体分析和许多数学物理学赖以建立的光滑流形框架。

History

该学科源于欧拉和高斯对曲线和曲面的研究——高斯在《卓越定理》（1827年）中表明曲率是内蕴的——随后被黎曼推广到任意维度，并由嘉当用微分形式和活动标架的语言重新阐述，形成了现代的处理方式。

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Bernhard Riemann
• Élie Cartan

Seminal works

• docarmo1976
• lee2012

Frequently asked questions

微分几何与拓扑学有什么区别？

拓扑学研究在连续形变下保持不变的性质，忽略光滑性和距离；微分几何则增加了光滑结构，通常还有度量，从而可以测量曲率、长度和角度。

什么是高斯卓越定理？

它指出曲面的高斯曲率是内蕴的——它仅取决于在曲面内部测量的距离，而不取决于曲面在空间中的位置——因此，弯曲曲面的平面图必然会扭曲距离。