联络与平行输运

联络规定了如何沿着曲线微分向量场，而平行输运则利用联络在流形上移动向量，同时使其在几何允许的范围内保持不变。

Definition

流形上的联络是一种对向量场进行协变微分的规则，该规则是线性的并满足莱布尼茨法则；平行输运是随之而来的沿曲线移动切向量的规定，使得其沿曲线的协变导数为零。

Scope

本主题介绍仿射联络和线性联络、协变导数以及沿曲线的平行输运。它确立了黎曼几何的基本定理——唯一无挠且与度量兼容的联络（Levi-Civita 联络）的存在性——通过 Christoffel 符号在坐标中表达。它将测地线视为自平行曲线，将围绕闭合回路的平行输运的完整性（holonomy）视为曲率的一种表现，并将一般向量丛上的联络视为规范理论的桥梁。

Core questions

• 为什么在弯曲流形上微分向量场需要度量之外的额外结构？
• 什么条件能唯一地从度量中确定 Levi-Civita 联络？
• 平行输运如何依赖于路径，这种路径依赖性揭示了什么？
• Christoffel 符号如何在局部坐标中表达联络？

Key concepts

• 仿射联络和线性联络；协变导数
• 沿曲线的平行输运
• Levi-Civita 联络和黎曼几何基本定理
• Christoffel 符号
• 完整性（Holonomy）和向量丛上的联络

Clinical relevance

联络是物理学中规范理论的数学核心，其中联络是规范场；在几何学中，它们定义了测地线和曲率，而平行输运解释了从傅科摆到几何（Berry）相位的现象。

History

Levi-Civita 于 1917 年引入了平行输运，赋予了黎曼曲率直观的含义；Weyl 和 Cartan 在 20 世纪 20 年代将其概念抽象为仿射联络和一般联络，后来丛理论的表述将其与物理学的规范场统一起来。

Key figures

• Tullio Levi-Civita
• Élie Cartan
• Hermann Weyl

Seminal works

• lee1997
• docarmo1992

Frequently asked questions

为什么我们不能直接在流形上微分向量场？

不同点的切向量存在于不同的向量空间中，因此无法定义它们的相减以形成导数；联络提供了比较邻近切空间的缺失规则。

Levi-Civita 联络有何特殊之处？

它是唯一既与度量兼容（平行输运保持长度和角度）又无挠的联络；这两个条件完全由度量确定了它。