黎曼几何
黎曼几何为光滑流形配备了度量，用于测量长度和角度，将流形的微积分转化为真正的距离、测地线和曲率几何。
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Definition
黎曼几何是研究配备黎曼度量（切空间上平滑变化的内积）的光滑流形，以及由该度量确定的长度、角度、测地线和曲率等几何概念的学科。
Scope
该领域涵盖了配备黎曼度量的流形：列维-奇维塔联络和平行移动、作为局部最短路径的测地线、曲率张量及其收缩（截面曲率、里奇曲率和标量曲率），以及将曲率界限与拓扑和距离联系起来的全局比较定理。它包括局部曲率和全局形状之间的相互作用，这激发了许多现代几何学研究，但排除了微分拓扑的无度量光滑结构和洛伦兹几何中研究的不定度量。
Sub-topics
Core questions
- 度量如何确定唯一的相容无挠联络（列维-奇维塔联络），从而确定测地线？
- 有哪些不同的曲率，它们如何编码与平坦性的局部偏差？
- 曲率界限如何约束流形的全局拓扑和直径？
- 两个黎曼流形何时是等距的，哪些量是等距不变量？
Key concepts
- 黎曼度量和等距
- 列维-奇维塔联络和平行移动
- 测地线和指数映射
- 黎曼曲率张量、截面曲率、里奇曲率和标量曲率
- 将曲率与拓扑联系起来的比较定理
Clinical relevance
黎曼几何是广义相对论（及其洛伦兹推广）的数学框架，是解决庞加莱猜想的几何分析和里奇流技术的基础，并为流形上的优化、形状分析和机器学习提供了核心的弯曲度量。
History
黎曼在1854年的就职演讲中引入了任意维度的曲率度量概念；列维-奇维塔的平行移动（1917年）赋予了联络几何意义，而卡丹、劳赫以及后来的格罗莫夫发展的全局比较几何则将该学科转变为曲率与拓扑关系的研究。
Key figures
- Bernhard Riemann
- Tullio Levi-Civita
- Mikhail Gromov
Related topics
Seminal works
- lee1997
- docarmo1992
Frequently asked questions
- 黎曼度量为光滑流形增加了什么？
- 它在每个切空间上提供了一个平滑变化的内积，使得人们可以测量曲线的长度、向量之间的角度、体积以及最终的曲率——这些在裸光滑流形上都不存在。
- 黎曼几何与广义相对论有何关系？
- 广义相对论在时空上使用不定号的伪黎曼（洛伦兹）度量；黎曼几何的列维-奇维塔联络、测地线和曲率张量被沿用，并描述了自由落体和引力作为曲率。