可微流形

可微流形是一种局部看起来像欧几里得空间，并通过光滑坐标变换粘合在一起的空间，使其成为在弯曲空间上进行微积分的场所。

Definition

n维可微（光滑）流形是一个第二可数豪斯多夫拓扑空间，配备了到n维欧几里得空间开子集的图册，其过渡映射是无限可微的。

Scope

本主题通过带有光滑过渡映射的图册定义流形，发展光滑结构，并处理基本构造：子流形、秩和正则值定理（将水平集作为流形）、单位分解以及嵌入欧几里得空间（惠特尼嵌入定理）。它介绍了拓扑结构和光滑结构之间的区别，奇异光滑结构的惊人存在，以及作为具有兼容群运算的流形的李群。

Core questions

• 图和光滑过渡映射如何使微积分能够明确地转移到弯曲空间上？
• 光滑映射的水平集何时具有自然的流形结构？
• 为什么每个光滑流形都可以嵌入到某个欧几里得空间中？
• 单个拓扑流形如何能容纳不等价的光滑结构？

Key concepts

• 图、图册和光滑过渡映射
• 光滑结构和子流形
• 正则值定理和作为流形的水平集
• 单位分解和惠特尼嵌入定理
• 拓扑结构与光滑结构以及奇异流形

Clinical relevance

流形是现代几何和物理的通用舞台：力学中的构型空间和相空间、广义相对论中的时空以及对称性中的李群都是流形，而米尔诺揭示的光滑结构微妙之处重塑了二十世纪的拓扑学。

History

黎曼1854年的流形概念通过20世纪早期图册的定义变得严谨；惠特尼在1930年代的嵌入定理奠定了抽象理论的基础，而米尔诺1956年发现奇异7球体揭示了光滑结构承载着超越拓扑的信息。

Key figures

• Bernhard Riemann
• Hassler Whitney
• John Milnor

Seminal works

• lee2012
• milnor1956

Frequently asked questions

是什么让流形可微而不仅仅是拓扑的？

拓扑流形只需要到欧几里得空间的图；可微流形额外要求重叠图之间的过渡映射是光滑的，这样流形上的光滑函数概念才能被良好定义。

什么是奇异球体？

它是一个与标准球体同胚但不同胚的流形；米尔诺在7球体上发现的这种结构表明，光滑结构并非由底层拓扑决定。