黎曼度量与测地线

黎曼度量用于测量流形上的长度和角度，而测地线是局部最小化长度的曲线——它们是弯曲空间中直线在弯曲空间中的对应物。

Definition

黎曼度量为每个切空间分配一个正定内积，该内积平滑地依赖于点；测地线是局部最小化长度的曲线，等效地，其速度沿自身平行。

Scope

本主题将黎曼度量定义为切空间上平滑变化的内积，以及由此产生的弧长、角度和黎曼体积的概念，以及使连通黎曼流形成为度量空间的距离函数。它将测地线发展为长度最小化曲线和测地线方程的解，指数映射和法线坐标，测地线完备性，以及将完备性与最小化测地线的存在联系起来的Hopf-Rinow定理。还包括等距和测地线的变分特征。

Core questions

• 度量如何将光滑流形转化为具有明确距离的度量空间？
• 从何种意义上说，测地线是最直且局部最短的曲线？
• 指数映射如何提供围绕一个点的规范坐标？
• 测地线完备性何时能保证任意两点之间存在最小化测地线（Hopf-Rinow定理）？

Key concepts

• 黎曼度量、弧长和体积
• 黎曼距离函数和等距
• 测地线方程和长度最小化
• 指数映射和法线坐标
• 测地线完备性和Hopf-Rinow定理

Clinical relevance

测地线在相对论中模拟自由粒子运动和光路，在形状空间和机器人学中模拟最优路径，以及弯曲表面上的最短路径；度量结构使流形成为一个真正的几何和度量空间对象。

History

黎曼于1854年引入了度量；测地线的变分研究在19世纪末和20世纪初成熟，Hopf-Rinow定理（1931年）阐明了度量完备性和测地线完备性的等价性，完善了当今所教授的基础理论。

Key figures

• Bernhard Riemann
• Heinz Hopf
• Willi Rinow

Seminal works

• lee1997
• docarmo1992

Frequently asked questions

测地线总是最短路径吗？

仅在局部是。测地线在足够接近的点之间最小化长度，但在全局上，两个遥远点之间的测地线可能不是最短的——例如，绕球体长途跋涉的大圆弧。

Hopf-Rinow定理保证了什么？

在连通黎曼流形上，测地线完备性、度量完备性以及闭有界集紧致的性质都是等价的，并且其中任何一个都确保每对点都由一条最小化测地线连接。