可观测量与量子测量

在量子力学中，每个可测量的量都由一个厄米算符表示，其本征值是可能的结果；测量会随机返回一个本征值，其概率由玻恩定则加权，并使系统处于匹配的本征态。

Definition

可观测量是系统希尔伯特空间上的自伴算符，其本征值是可能的测量结果；测量将状态投影到本征空间，并以玻恩定则给出的概率返回相应的本征值。

Scope

本主题涵盖厄米算符和自伴算符及其实谱、本征值方程和谱分解、期望值及其时间依赖性、对易可观测量和完备的相容可观测量集、非对易算符的不确定性原理，以及由正算符值测量描述的广义测量。

Core questions

• 为什么可观测量必须由厄米算符表示？
• 如何从状态计算重复测量的平均值和离散度？
• 何时可以同时以任意精度测量两个可观测量？
• 不确定性原理对不相容可观测量有何阐述？

Key concepts

• 厄米算符
• 本征值和本征态
• 期望值
• 对易可观测量
• 完备的相容可观测量集
• 海森堡不确定性

Key theories

可观测量的谱定理

自伴算符具有实本征值和正交本征基，因此任何可观测量都可以分解为其本征值乘以对应本征空间的投影算符之和或积分，这正是测量所利用的结构。

不确定性原理

对于两个可观测量，它们在任何状态下测量的标准差的乘积，其下界是它们对易子期望值大小的一半，因此位置和动量等非对易量不能同时被精确定义。

Clinical relevance

测量的算符图景是光谱学的基础，其中测量的能量是算符的本征值；也是量子计量学和断层扫描的基础，其中期望值和相容可观测量集决定了可以从状态中提取多少信息；不确定性原理为传感和显微镜的精度设定了基本限制。

History

海森堡于1927年提出了他的不确定性关系，同年算符形式主义也逐渐成形；冯·诺依曼1932年的专著为测量和自伴算符奠定了严格的基础，后来的工作将投影测量推广到量子信息中的正算符值测量。

Debates

不确定性原理的解释

不确定性原理是反映了测量仪器不可避免的干扰，还是量子态固有的、独立于测量的性质，自海森堡以来一直存在争议；现代测量-干扰关系区分了这两个概念。

Key figures

• Werner Heisenberg
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Eugene Wigner

Seminal works

• vonneumann1955
• sakurai2017

Frequently asked questions

为什么可观测量必须是厄米算符？

厄米算符具有实本征值，符合测量结果为实数的要求，并且它们拥有一个完备的正交本征基，这使得玻恩定则能够分配一组一致的结果概率。

任何两个可观测量都可以同时测量吗？

只有当它们的算符对易时才可以；对易的可观测量共享一个本征基，可以同时被赋予确定的值，而非对易的可观测量则服从不确定性关系，禁止同时具有精确值。