希尔伯特空间与量子态

量子态是希尔伯特空间中的一个向量，希尔伯特空间是一个配备了内积的完备复向量空间，这种几何设定提供了量子力学所依赖的叠加、正交和概率结构。

Definition

希尔伯特空间是复数域上的完备内积向量空间，纯量子态是其中的单位向量，而混合态则由正定、厄米且迹为1的密度算符表示。

Scope

本主题涵盖了希尔伯特空间及其内积的定义、归一化和整体相位的物理无关性、正交归一基和完备性、纯态和由密度算符描述的统计混合态之间的区别，以及为适应位置和动量等连续谱所需的受限希尔伯特空间（rigged Hilbert space）。

Core questions

• 哪些性质使得希尔伯特空间成为量子态的合适归宿？
• 为什么量子态的定义只在归一化和整体相位上有所限制？
• 密度算符如何描述状态的统计混合？
• 如何数学处理位置本征态等连续谱状态？

Key concepts

• 内积
• 正交归一基
• 完备性关系
• 归一化和相位
• 密度算符
• 受限希尔伯特空间

Key theories

作为射线的纯态

纯态对应于希尔伯特空间的一维子空间，即射线，因此仅相差一个相位因子的两个单位向量描述相同的物理状态，而它们在叠加中的相对相位则具有物理意义。

混合态的密度算符

统计系综或纠缠对的子系统不是由单个向量描述，而是由密度算符描述，它是一个正定、厄米、迹为1的算符，其对角元素给出布居数，非对角元素编码相干性。

Clinical relevance

希尔伯特空间图景是量子技术的工作语言：量子比特是二维空间中的单位向量，密度算符描述了量子信息中的噪声和部分已知状态，而完备性关系是振幅和概率的每次实际计算的基础。

History

希尔伯特和他的学生在大约1900年发展了无限维内积空间理论；冯·诺依曼在1920年代后期认识到这种结构统一了海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学，而朗道和冯·诺依曼引入了密度算符来描述混合态。

Key figures

• David Hilbert
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Lev Landau

Seminal works

• vonneumann1955
• shankar1994

Frequently asked questions

纯态和混合态有什么区别？

纯态是携带完整量子相干性的单个希尔伯特空间向量，而混合态是纯态的概率混合，由密度算符描述，反映了关于制备了哪个状态的经典不确定性或与未观测系统的纠缠。

为什么状态的整体相位不重要？

测量概率取决于振幅的平方模，将整个状态乘以一个相位因子不会改变它们；只有叠加分量之间的相对相位会影响干涉，因此具有物理意义。