数值积分

数值积分，或称求积，通过函数值的加权和来近似定积分，当无法求得反导数或被积函数仅在采样点已知时，它能提供准确的值。

Definition

数值积分是通过被积函数值的有限加权组合（称为求积规则）来近似定积分，并对其精度进行分析。

Scope

该领域涵盖了通过积分多项式插值（牛顿-科茨）构建的插值求积规则、基于正交多项式的最优高斯规则、自动控制误差的复合和自适应方案，以及控制精度和收敛性的误差分析；多维积分被视为这些一维基础的扩展。

Sub-topics

• adaptive quadrature
• gaussian quadrature
• newton cotes quadrature

Core questions

• 如何从多项式插值构建求积规则，以及什么决定了它们的精度？
• 规则的精确度是多少，高斯规则如何为给定点数最大化精确度？
• 复合和自适应策略如何控制区间上的误差？
• 被积函数的平滑性如何控制求积规则的收敛速度？

Key theories

插值求积

对在选定节点处插值被积函数的多项式进行积分，得到一个求积规则，其权重是拉格朗日基函数的积分；该规则对于所有插值次数以下的多项式都是精确的。

高斯求积和正交多项式

选择正交多项式的根作为节点，可以产生一个n点规则，对于次数高达2n-1的多项式是精确的，这是可能的最大值，将最优求积与正交多项式理论联系起来。

自适应误差控制

比较不同阶规则或细化子区间的估计值，可以得到一个误差估计，从而驱动自动细分，将被积函数变化迅速的地方集中精力处理。

Clinical relevance

在积分无法以封闭形式求值的所有情况下都需要求积：计算概率和统计中的期望和归一化常数，评估有限元方法中的单元积分，物理模拟中辐射和力贡献的求和，以及计算金融中的工具定价；规则的选择需要在精度和（通常昂贵的）被积函数评估次数之间进行权衡。

History

经典的插值规则可追溯到牛顿和科茨，而高斯在1814年引入了他的最优高斯求积；计算机时代增加了自动自适应算法和高质量的软件库，并重新关注了困难被积函数求积的条件性和稳定性。

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Philip J. Davis

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

什么时候需要数值积分而不是求反导数？

许多被积函数没有可以用初等函数表达的反导数，实际上，被积函数可能仅以数据形式或作为模拟输出提供。在这两种情况下，求积规则都直接从函数值估计积分。

为什么高斯求积如此高效？

通过优化节点和权重的放置，n点高斯规则可以精确积分次数高达2n-1的多项式——是相同点数牛顿-科茨规则的两倍——因此对于平滑的被积函数，它可以用较少的函数评估次数获得高精度。