统计学中的数值积分

统计学中的数值积分用于评估那些没有封闭形式的积分，这些积分定义了边际似然、后验期望和归一化常数。

Definition

统计学中的数值积分是利用确定性求积法则和解析近似来评估基于似然和贝叶斯推断中出现的积分，特别是边际似然和后验矩。

Scope

本主题涵盖适用于统计被积函数的确定性求积，包括用于积分正态随机效应的高斯-埃尔米特法则、自适应求积以及用于处理由尖锐峰值主导的积分的拉普拉斯近似。它通过关注低维确定性方案，补充了蒙特卡洛积分（在蒙特卡洛方法中讨论）。

Core questions

• 如何使用高斯求积法将随机效应从似然中积分出来？
• 对于统计被积函数，自适应求积何时优于固定法则？
• 拉普拉斯近似如何利用尖锐峰值的被积函数？
• 确定性求积方法何时优于蒙特卡洛积分？

Key concepts

• 高斯-埃尔米特求积
• 自适应求积
• 拉普拉斯近似
• 边际似然
• 归一化常数

Key theories

随机效应的高斯-埃尔米特求积

针对正态密度的积分，例如混合模型中随机效应的边际化积分，可以通过高斯-埃尔米特法则高效评估，其中自适应版本将节点集中在被积函数的众数附近。

拉普拉斯近似

通过其众数周围的高斯函数近似尖锐峰值的被积函数，可以得到积分的封闭形式估计，当峰值占主导地位时准确，并为许多分层模型提供快速近似推断的基础。

Clinical relevance

拟合广义线性混合模型、计算贝叶斯因子以及获取后验汇总都需要评估难以处理的积分；确定性求积和拉普拉斯近似为低维积分提供了快速、准确的模拟替代方案。

History

经典的求积法和拉普拉斯积分近似法被统计学家应用于似然和贝叶斯计算，其中自适应高斯-埃尔米特求积和拉普拉斯近似已成为混合模型和分层模型的标准工具。

Key figures

• John Monahan
• Kenneth Lange
• Pierre-Simon Laplace

Seminal works

• monahan2011
• lange2010

Frequently asked questions

对于统计积分，我应该何时使用求积法而不是蒙特卡洛方法？

对于具有平滑被积函数的低维积分，确定性求积收敛速度快得多，并给出确定性结果。随着维度的增加，蒙特卡洛方法变得更优，因为求积网格变得不切实际。

拉普拉斯近似有什么用？

它为由单个尖锐峰值主导的积分（例如在良好识别模型中的边际似然）提供了快速的封闭形式近似。当被积函数在其众数附近近似为高斯分布时，它是准确的。