多项式插值

多项式插值构建了通过n+1个给定数据点的唯一次数至多为n的多项式，为函数的微分、积分和逼近提供了基础。

Definition

多项式插值是确定次数最低的多项式，该多项式在给定的一组点（称为插值节点）处与规定值（可能还有导数）一致。

Scope

本主题涵盖了插值多项式的存在性和唯一性、拉格朗日和牛顿差商表示、用于稳定求值的重心形式、插值误差公式以及促使切比雪夫点分布的龙格现象。

Core questions

• 为什么通过n+1个不同点的插值多项式是唯一的，以及如何表示它？
• 拉格朗日形式和牛顿形式如何比较，为什么重心形式更适合求值？
• 插值误差公式如何说明准确性，以及节点位置如何影响它？
• 为什么等距点插值在高次时会失效，以及切比雪夫节点如何弥补？

Key theories

存在性和唯一性

对于n+1个不同的节点，恰好存在一个次数至多为n的多项式与规定值匹配，这是范德蒙系统非奇异性的结果；拉格朗日形式和牛顿形式给出了这个相同多项式的两种构造性表示。

插值误差和节点选择

插值误差是n+1阶差商乘以节点多项式；最小化节点多项式的最大值驱动了切比雪夫节点的选择，这抑制了龙格现象并产生了接近最优的精度。

Mechanisms

牛顿形式利用差商逐步构建插值多项式，因此添加一个节点只需增加一个额外项。重心形式通过预先计算的权重重写拉格朗日插值多项式，使得插值多项式能够以每个点线性时间进行求值，并具有出色的数值稳定性。误差公式通过高阶导数和到节点距离的乘积来表示函数与插值多项式之间的差异，对于等距节点，该差异在内部较小，但在两端附近较大——这是龙格现象的根源——而对于切比雪夫节点，则均匀有界。

Clinical relevance

多项式插值是数值微分和积分公式、构建求积和有限差分模板、谱方法以及评估列表函数的基础；其误差分析为如何密集和在何处采样数据以实现精确重建提供了依据。

History

插值公式可追溯到牛顿和拉格朗日，但现代理解因龙格1901年的例子而深化，该例子展示了等距点处的发散性，以及20世纪对切比雪夫节点和稳定重心公式的认识，这使得高次插值既准确又实用。

Key figures

• Joseph-Louis Lagrange
• Isaac Newton
• Carl Runge
• Pafnuty Chebyshev

Seminal works

• trefethen2013
• powell1981

Frequently asked questions

更高次的多项式插值总是更准确吗？

不一定。对于等距节点，提高次数可能导致区间两端附近出现大幅振荡（龙格现象），从而降低准确性。使用切比雪夫分布的节点或分段（样条）插值可以恢复可靠的收敛性。

在实践中应该使用哪种插值表示？

重心形式通常更受青睐：一旦其权重被计算出来，它能快速评估插值多项式，并且数值稳定，这与直接求解病态的范德蒙系统不同。