牛顿-科茨求积

牛顿-科茨法则通过对在等距点处插值被积函数的插值多项式进行积分来近似积分，从而得到熟悉的公式，如梯形法则和辛普森法则。

Definition

牛顿-科茨求积法则是一种插值求积法则，其节点在积分区间内等距分布，权重通过对相应的插值多项式进行积分获得。

Scope

本主题涵盖封闭式和开放式牛顿-科茨公式、它们的精确度及其误差项、通过细分区间获得的复合梯形法则和辛普森法则、通过理查森外推法实现的龙贝格积分，以及限制其实际程度的高阶牛顿-科茨法则的不稳定性。

Core questions

• 梯形法则和辛普森法则作为积分插值是如何推导出来的？
• 这些法则的误差项是什么？为什么辛普森法则因对称性而获得额外的阶数？
• 复合法则和龙贝格外推法如何系统地提高精度？
• 为什么高阶牛顿-科茨法则变得不稳定，以及什么限制了它们的使用？

Key theories

精确度和误差项

梯形法则对于线性被积函数是精确的，误差与二阶导数成比例；而辛普森法则，由于对称性，对于三次函数是精确的，误差与四阶导数成比例，比其插值阶数高出一阶。

复合法则和龙贝格积分

在许多子区间上应用基本法则会产生复合法则，其误差随步长呈多项式下降；对复合梯形法则进行理查森外推会产生快速收敛的龙贝格方案。

Mechanisms

每个基本法则都精确地积分等距插值：梯形法则积分直线拟合，辛普森法则积分抛物线。复合法则将区间划分并对每个部分应用基本法则求和，因此将步长减半可预测地减少误差。龙贝格积分通过在连续减半的步长下列表复合梯形估计，并应用重复的理查森外推法，抵消主要误差项，从而对平滑被积函数实现高阶精度。高阶单区间牛顿-科茨法则会产生符号混合的大幅振荡权重，这反映了龙格现象，导致抵消和不稳定性。

Clinical relevance

牛顿-科茨法则，特别是复合梯形和辛普森形式，是当被积函数样本自然等距分布时（例如列表实验数据、时间序列积分和简单的模拟后处理）默认的低成本求积工具，而龙贝格积分则为平滑函数提供了准确的结果，且编码量极小。

History

这些法则起源于18世纪早期的牛顿和科茨，以及托马斯·辛普森（其法则以他的名字命名）；维尔纳·龙贝格1955年的外推方案将基本的梯形法则转变为一种高精度方法，至今仍是标准的教学和计算工具。

Key figures

• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Thomas Simpson
• Werner Romberg

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

为什么辛普森法则比梯形法则更精确？

辛普森法则通过三个点拟合一条抛物线，而不是通过两个点拟合一条直线，并且由于对称性，它能精确积分三次多项式，因此其误差取决于四阶导数，并且随着步长的减小而更快地缩小。

为什么不直接使用非常高阶的牛顿-科茨法则？

在等距节点上的高阶牛顿-科茨法则会产生带有交替符号的大权重，导致数值抵消和不稳定性。在实践中，通常使用复合低阶法则、龙贝格外推法或高斯求积法。