逼近理论
逼近理论研究函数如何能被更简单的函数（如多项式、样条函数、三角级数或有理函数）很好地表示，并构建能达到最佳或接近最佳精度的逼近器。
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Definition
逼近理论是数值分析的一个分支，关注于用更简单的函数类来表示函数，并量化在各种最佳拟合度量下的这种表示误差。
Scope
该领域涵盖插值和最佳逼近、多项式和样条逼近器的收敛性和误差、最小二乘和极小极大（切比雪夫）准则，以及量化逼近误差如何随着自由度增加而减小的理论结果（存在性、唯一性和收敛速度）。
Sub-topics
Core questions
- 给定函数能被给定大小的多项式、样条函数或有理函数逼近到何种程度？
- 在选定的误差度量（如最小二乘或最大（极小极大）误差）下，哪种逼近器是最佳的？
- 函数的平滑度如何控制逼近误差的下降速度？
- 插值何时收敛于底层函数，何时会失败？
Key theories
- 魏尔斯特拉斯逼近定理
- 闭有界区间上的每个连续函数都可以被多项式任意地一致逼近，这确立了多项式在连续函数空间中的稠密性，并推动了构造性逼近方法的发展。
- 最佳逼近和等振性
- 连续函数的最佳极小极大（minimax）多项式逼近存在且唯一，其特征由切比雪夫等振定理描述，该定理指出误差在足够多的点上以交替符号达到其最大幅值。
- 平滑度和收敛速度
- 逼近误差的衰减速度受目标函数平滑度的影响：解析函数允许多项式逼近器几何收敛，而导数有限的函数仅代数收敛。
Clinical relevance
逼近理论是科学计算中构建精确数值方法的基础：求积法则、谱和有限元基、数据拟合和平滑、计算机辅助几何设计，以及数值软件中内置的特殊函数和基本函数例程，都建立在关于函数能被多好、多廉价地逼近的结果之上。
History
该学科起源于切比雪夫十九世纪关于最佳一致逼近的工作和魏尔斯特拉斯密度定理，通过对正交多项式和傅里叶级数的研究得到发展，并在计算机时代通过样条理论和现代数值计算中流行的基于切比雪夫的实用方法而得以重塑。
Key figures
- Pafnuty Chebyshev
- Karl Weierstrass
- Carl Runge
- Lloyd N. Trefethen
Related topics
Seminal works
- trefethen2013
- powell1981
- cheney1966
Frequently asked questions
- 插值和最佳逼近有什么区别？
- 插值强制逼近器在选定点上与函数精确匹配，而最佳逼近则最小化整体误差度量（如最大误差或最小二乘误差），而不必在任何点上匹配。最佳逼近器通常整体上更精确，但构造起来更困难。
- 为什么有时使用更多的插值点反而会使情况变糟？
- 在等距点处进行高次多项式插值可能会在区间末端附近剧烈振荡——即龙格现象——因此误差可能会增大而非减小。选择切比雪夫分布点或使用样条函数可以避免这种情况。