狄拉克符号（Bra-Ket 记法）

狄拉克的 Bra-Ket 记法将态矢量表示为右矢（ket），将其对偶表示为左矢（bra），从而使内积成为括号（bracket），外积成为算符，为量子力学提供了一种紧凑、与基无关的代数。

Definition

Bra-Ket 记法是狄拉克提出的一种符号系统，其中量子态由右矢表示，其共轭对偶由左矢表示，它们的内积由括号表示，算符由外积表示，为希尔伯特空间中的矢量、对偶矢量和线性算符提供了一种统一的记法。

Scope

本主题涵盖作为态矢量的右矢和作为对偶空间元素的左矢，作为 Bra-Ket 括号的内积，作为算符和投影算符的外积，完备性关系或单位分解关系，算符的作用及其矩阵元，以及抽象矢量与其位置或动量空间表示之间的转换。

Core questions

• 右矢和左矢如何表示态及其对偶？
• 内积、外积和矩阵元如何用这种记法书写？
• 什么是完备性关系，为什么它是计算的主力？
• 如何将抽象的 Bra-Ket 表达式转换为显式波函数？

Key concepts

• 右矢（ket vector）
• 左矢（bra vector）
• 内积括号（inner product bracket）
• 外积算符（outer product operator）
• 完备性关系（completeness relation）
• 矩阵元（matrix element）

Key theories

右矢、左矢和对偶空间

希尔伯特空间中的每个右矢都通过内积对应于对偶空间中的一个左矢；括号给出复振幅，而右矢与左矢的外积构成一个算符，其中投影到某个态上的投影算符是主要例子。

单位分解

对一组完备正交基上的投影算符求和或积分会得到单位算符，将此分解插入符号之间可以将抽象表达式转换为分量之和或连续表示上的积分。

Clinical relevance

Bra-Ket 记法是量子物理和量子计算的通用速记：振幅、跃迁概率、期望值和门操作都以括号和外积的形式书写和操作，使其成为量子系统手算和软件描述的实用语言。

History

狄拉克于1939年引入了 Bra-Ket 记法，将其早期的变换理论提炼成一种优雅的单一形式；它迅速成为量子力学的标准记法，后来被量子信息科学全盘采纳。

Key figures

• Paul Dirac
• John von Neumann
• Pascual Jordan

Seminal works

• dirac1981

Frequently asked questions

左矢和右矢有什么区别？

右矢表示希尔伯特空间中的态矢量，而相应的左矢是其在对偶空间中的共轭转置伙伴；将左矢与右矢配对形成内积，产生一个复数，即振幅。

Bra-Ket 记法与波函数有什么关系？

波函数是抽象右矢在特定基下的分量，通过位置或动量本征左矢与态右矢的括号获得，因此 Bra-Ket 记法概括并统一了各种波函数表示。