希尔伯特空间

希尔伯特空间是完备的内积空间，是欧几里得几何的无限维推广，其中角度、正交性和投影的概念仍然完全适用。

Definition

希尔伯特空间是一个向量空间，它带有一个内积，并且在这个内积诱导的范数下是完备的；内积提供了长度和角度的几何结构，使得正交投影和正交展开成为可能。

Scope

本主题涵盖内积及其诱导范数、柯西-施瓦茨不等式和平行四边形恒等式、正交性和正交补、到闭凸集的投影定理、正交基和帕塞瓦尔恒等式，以及将希尔伯特空间与其对偶空间等同起来的里斯表示定理。

Core questions

• 内积如何为无限维空间赋予几何结构？
• 为什么每个闭凸集都存在一个唯一的最近点，以及这种投影提供了什么？
• 正交基如何将每个向量表示为广义傅里叶级数？
• 为什么希尔伯特空间自然地与其自身的对偶空间等同？

Key theories

投影定理

希尔伯特空间中每个非空闭凸子集都包含一个距离给定向量最近的唯一 G点，并且到闭子空间的正交投影将空间分解为该子空间及其正交补。

里斯表示定理

希尔伯特空间上的每个有界线性泛函都可以通过与一个唯一向量的内积给出，因此该空间与其对偶空间等距同构，这是该空间许多分析便利性的来源。

Clinical relevance

希尔伯特空间是量子力学的状态空间，其中正交展开和投影表达了测量和叠加；它们也是最小二乘逼近、傅里叶和小波分析、信号处理以及现代机器学习核心的再生核空间的基础。

History

该结构起源于20世纪初希尔伯特对积分方程和无限二次形式的研究；冯·诺依曼在20世纪20年代在构建量子力学时给出了抽象的公理化定义，从而确立了希尔伯特空间的现代概念。

Key figures

• David Hilbert
• John von Neumann
• Frigyes Riesz

Seminal works

• conway1985
• stein2005real

Frequently asked questions

希尔伯特空间与巴拿赫空间有何不同？

希尔伯特空间带有一个内积，该内积诱导其范数并提供几何、角度、正交性和投影，而一般的巴拿赫空间只有范数；每个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但反之不成立。

什么是正交基？

它是一组相互垂直的单位向量的最大集合，空间中的每个元素都是其在这些向量上投影的和，这推广了傅里叶级数展开函数为正弦和余弦的方式。