哈密顿-雅可比理论

哈密顿-雅可比理论旨在寻找一种规范变换，将变量转换为运动是平凡的变量，从而将力学简化为求解一个关于作用量的单一一阶偏微分方程。

Definition

哈密顿-雅可比理论是一种力学表述，其中通过求解一个一阶偏微分方程（即哈密顿-雅可比方程）来获得一个生成函数，该函数将坐标转换为所有动量均为常数且运动是瞬时的坐标。

Scope

本主题涵盖了哈密顿主函数和特征函数的哈密顿-雅可比方程、求解该方程的变量分离法、周期和多周期系统的作用-角变量的构建，以及该理论作为波动力学的经典极限和概念起源的作用。

Core questions

• 什么是哈密顿-雅可比方程，它确定了什么函数？
• 变量分离如何使方程对可积系统变得可解？
• 什么是作用-角变量，它们为何有价值？

Key concepts

• 哈密顿主函数
• 哈密顿特征函数
• 变量分离
• 作用-角变量
• 完全积分

Key theories

哈密顿-雅可比方程

一个关于哈密顿主函数的一阶非线性偏微分方程，其完全解产生一个规范变换，将系统简化为新的常数坐标和动量。

作用-角变量

对于周期系统，该理论产生作为运动常数的作用变量和随时间均匀变化的共轭角变量，非常适合微扰理论和量子化。

Clinical relevance

哈密顿-雅可比理论为旧量子理论的玻尔-索末菲量子化提供了框架，预示了波动方程的程函和几何光学极限，并通过工程和经济学中使用的相关哈密顿-雅可比-贝尔曼方程支撑了最优控制理论。

History

哈密顿在19世纪30年代早期在光学和力学中发展了主函数，雅可比重新阐述并完善了该理论，赋予了该方程现代形式，并展示了其在积分动力学问题方面的强大功能。在20世纪早期，作用-角表述成为索末菲量子化规则的基础，将经典力学与新兴的量子理论联系起来。

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Arnold Sommerfeld

Seminal works

• goldstein2002
• landau1976

Frequently asked questions

为什么求解偏微分方程而不是常微分运动方程？

单一哈密顿-雅可比方程的完全解产生一个规范变换，可以立即明确整个运动，这对于可分离、可积系统来说，比直接积分耦合的常微分方程更强大。

该理论如何与量子力学联系起来？

哈密顿-雅可比方程是薛定谔方程的短波长极限，哈密顿主函数扮演着量子波函数相位的角色，使该理论成为波动力学的经典骨架。