布洛赫定理与能带

布洛赫定理指出，电子在周期性晶格中的波函数是平面波与晶格周期性函数的乘积，这立即将允许的能量组织成能带。

Definition

布洛赫定理断言，电子在周期性势场中的能量本征态具有平面波的形式，该平面波由具有晶格周期性的函数调制；本征值作为晶体动量的函数，形成由禁带分隔的连续能带。

Scope

本主题证明并解释了布洛赫定理：周期性势场迫使本征态成为由晶体动量和能带指数标记的布洛赫波，能谱分裂成由带隙分隔的能带，并且能带可以在扩展区、简约区或重复区方案中显示。它涵盖了晶体动量的含义、布洛赫电子的群速度以及每个能带中的态数。它是模型近似和费米面主题建立的基础。

Core questions

• 为什么晶格周期性迫使电子波函数呈现布洛赫形式？
• 什么是晶体动量，它与普通动量有何不同？
• 能带指数与晶体动量如何共同标记每个电子态？
• 为什么一个能带中的态数恰好等于晶体中原胞的数量？

Key concepts

• 布洛赫波函数和晶格周期性部分
• 晶体动量和能带指数
• 能带和带隙
• 扩展区、简约区和重复区方案
• 布洛赫电子的群速度

Key theories

布洛赫定理

对于周期性势场中的单个电子，其本征态是平面波和周期性函数的乘积，因此每个本征态都由布里渊区中的晶体动量和离散的能带指数来索引，从而产生能带结构的能谱。

Clinical relevance

布洛赫定理是固态物理学的基石：它解释了电子为何能在完美晶体中弹道式运动，定义了用于分类导体和绝缘体的能带结构，并构成了几乎所有电子结构计算的基础。

History

费利克斯·布洛赫于1928年的博士论文（1929年发表）中证明了该定理，该论文由海森堡指导，解决了电子为何不会被致密的离子晶格强烈散射的问题；该结果推广了弗洛凯早期关于周期性微分方程的一维理论。

Key figures

• Felix Bloch
• Gaston Floquet
• Rudolf Peierls

Seminal works

• bloch1929
• ashcroft1976

Frequently asked questions

晶体动量是否遵循普通动量守恒？

晶体动量仅在倒格矢的范围内守恒，因为晶格可以吸收量子化的动量；它标记布洛赫态并控制选择定则，但并非电子的真实机械动量。

为什么布洛赫定理暗示的是能带而不是连续谱？

对于每个晶体动量，周期性薛定谔问题都有一系列由能带编号索引的离散解；让动量在整个区域内变化，会将每个能级扫成一个连续的能带，其间存在没有态占据的能量范围，即带隙。