生灭过程
生灭过程是整数上的连续时间马尔可夫链，它每次增加或减少一个单位，其出生率和死亡率取决于当前的种群规模。
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Definition
生灭过程是非负整数上的连续时间马尔可夫链，其唯一跃迁是根据状态相关的出生率向上增加一个单位，以及根据状态相关的死亡率向下减少一个单位，因此其样本路径以单位步长变化。
Scope
本主题涵盖了最近邻跃迁率的结构、纯生过程和纯灭过程的特例、瞬态解和灭绝概率、通过细致平衡获得的平稳分布，以及在种群和排队论（包括M/M/1和M/M/c系统）中的应用。
Core questions
- 状态相关的出生率和死亡率如何决定动力学？
- 生灭过程何时具有平稳分布，其形式如何？
- 如何计算灭绝和爆炸概率？
- 排队系统如何作为生灭过程出现？
Key theories
- 细致平衡与平稳分布
- 由于跃迁仅限于相邻状态，生灭过程是可逆的，其平稳分布可以通过细致平衡方程明确地获得，表示为连续出生率与死亡率比值的乘积。
- 灭绝和吸收分析
- 当零是吸收态时，首步分析和生成函数方法可以给出灭绝概率和达到吸收态的预期时间，从而描述种群是否会灭绝以及灭绝的速度。
Clinical relevance
生灭过程模拟生物种群、感染的传播和清除、队列中的顾客数量以及通信信道的占用；M/M/1排队系统，一个具有恒定到达率和服务率的生灭过程，是连接该主题与排队论的典型例子。
History
纯生过程由Yule于1925年引入，用于模拟生物属的增长；Feller在20世纪30年代和40年代分析了广义生灭过程；通过Erlang及其继任者在电话流量方面的工作，该框架成为排队论的核心。
Key figures
- William Feller
- George Udny Yule
- Alfred Lotka
Related topics
Seminal works
- karlinTaylor1975
Frequently asked questions
- 什么使一个过程成为生灭过程？
- 它是一个整数上的连续时间马尔可夫链，其跃迁只发生在最近邻状态之间，根据出生率和死亡率使计数增加或减少一个单位。
- 为什么生灭过程总是可逆的？
- 因为状态空间是线性的，并且跃迁只发生在相邻状态之间，所以在平衡状态下，任意两个相邻状态之间的流量是平衡的，因此细致平衡方程成立并直接给出平稳分布。