跳跃过程与嵌入式链

连续时间马尔可夫链可以分解为记录所访问状态序列的离散时间跳跃链，以及记录每个状态占用时间的指数保持时间。

Definition

连续时间马尔可夫链的嵌入式链是连续访问状态的离散时间马尔可夫链，它与速率取决于当前状态的独立指数保持时间共同完全决定了连续时间过程。

Scope

本主题涵盖嵌入式跳跃链及其转移概率、具有状态相关速率的指数保持时间、生成元描述与跳跃-保持构造之间的等价性、在有限时间内无限次跳跃的“爆炸”可能性，以及使用均匀化将连续时间链与离散时间链关联起来。

Core questions

• 如何从连续时间链中提取嵌入式跳跃链？
• 为什么保持时间呈指数分布，以及它们的速率如何依赖于状态？
• 连续时间链何时会因在有限时间内进行无限次跳跃而“爆炸”？
• 均匀化如何将连续时间链转换为离散时间链？

Key theories

跳跃-保持构造

从一个状态开始，链等待一个指数时间，其速率是总退出速率，然后跳跃到由嵌入式链的转移概率选择的新状态，从这两个要素重构完整的连续时间过程。

爆炸与非保守性

如果沿轨迹的退出速率增长足够快，累积保持时间可能会收敛，链会在有限时间内进行无限次跳跃，这种“爆炸”必须被排除，以使转移半群是“诚实的”。

Clinical relevance

跳跃-保持构造是马尔可夫链精确随机模拟的基础，包括用于化学反应网络的Gillespie算法；均匀化为计算可靠性和性能模型中的瞬态分布提供了一种稳定的数值方法。

History

Feller和Doob在20世纪40年代建立了跳跃-保持表示和爆炸现象，阐明了连续时间链何时由其速率唯一确定；该构造后来支撑了精确模拟方法，例如Gillespie于1976年提出的化学动力学算法。

Key figures

• William Feller
• Joseph Doob
• Daniel Gillespie

Seminal works

• norris1997

Frequently asked questions

什么是连续时间马尔可夫链的嵌入式链？

它是只记录过程访问的不同状态序列的离散时间马尔可夫链，忽略了它在每个状态中停留的时间，它捕捉了过程的走向。

什么是爆炸？

当连续时间链在有限时间间隔内进行无限次跳跃时，就会发生爆炸，因为其保持时间缩短得太快；行为良好的链被构造为避免这种情况。