模态系统及其公理

不同的模态公理编码了不同的必然性概念，并且每个公理都对应着可及关系上的一个结构条件。

Definition

范式模态系统是一组定理，在经典逻辑规则、分配公理K和必然化规则下是封闭的，通过添加对应于可及关系属性的特征公理可以获得更强的系统。

Scope

本主题涵盖了在基础系统K上通过添加公理（如T（自反性）、4（传递性）、B（对称性）和5（欧几里得性））构建的标准范式模态系统层次结构，从而产生了T、S4和S5等系统。它讨论了对应理论——模态公理与框架条件之间的系统匹配——以及可靠性、完备性，以及哪个系统最能捕捉形而上学、逻辑或认知必然性的问题。

Core questions

• 哪种公理应支配特定类型的必然性？
• 模态公理如何与可及关系上的条件相对应？
• S5是形而上学必然性的正确逻辑，还是更弱的系统更合适？
• 可靠性和完备性结果对这些系统有何确立？

Key concepts

• 系统K和必然化
• 公理T、4、B、5
• 自反、传递、对称、欧几里得框架
• 对应理论
• S4和S5
• 通过规范模型实现的完备性

Key theories

对应理论

每个特征模态公理都对应着可及关系的一个属性——T对应自反性，4对应传递性，B对应对称性，5对应欧几里得性——因此一个系统对于满足这些条件的框架类是可靠和完备的。

严格蕴涵与刘易斯系统

C. I. 刘易斯引入了系统S1-S5，以形式化严格蕴涵并避免实质蕴涵的悖论，从而奠定了模态的现代公理化研究基础。

History

刘易斯（Lewis）和兰福德（Langford）于1932年出版的《符号逻辑》公理化地引入了系统S1-S5。在克里普克（Kripke）的关系语义学之后，对应理论揭示了公理与框架条件之间的系统性联系，并通过规范模型构建确立了完备性，这在休斯（Hughes）和克雷斯韦尔（Cresswell）等教科书中得到了编纂。

Debates

哪个系统能捕捉形而上学必然性？

形而上学必然性的逻辑是强大的S5（其中可能的事物是非偶然地可能的），还是一个较弱的系统，允许可能性空间本身在不同世界中变化。

Key figures

• C. I. Lewis
• Saul Kripke
• G. E. Hughes
• M. J. Cresswell
• Johan van Benthem

Seminal works

• lewislangford1932
• hughescresswell1996

Frequently asked questions

S4和S5有什么区别？

S4增加了“必然的事物必然是必然的”这一公理（传递性可及关系）。S5进一步增加了“可能的事物必然是可能的”这一公理（可及关系变为等价关系）。在S5中，任何语句的模态状态本身都是非偶然的，许多人认为这符合形而上学必然性。