Tọa độ tổng quát và Ràng buộc

Tọa độ tổng quát là bất kỳ biến độc lập nào xác định cấu hình của một hệ thống, được chọn để hấp thụ các ràng buộc và giảm số bậc tự do cần theo dõi.

Definition

Tọa độ tổng quát là một tập hợp tối thiểu các tham số độc lập xác định duy nhất cấu hình của một hệ cơ học phù hợp với các ràng buộc của nó, giảm mô tả của nó xuống số bậc tự do thực sự của hệ.

Scope

Chủ đề này bao gồm việc lựa chọn tọa độ tổng quát, khái niệm không gian cấu hình và bậc tự do, và phân loại các ràng buộc là toàn hình (holonomic) hoặc không toàn hình (non-holonomic), cố định (scleronomic) hoặc biến đổi theo thời gian (rheonomic). Nó đề cập đến cách các ràng buộc toàn hình được loại bỏ bằng cách lựa chọn tọa độ thích hợp và cách nguyên lý công ảo và nguyên lý d'Alembert xử lý các lực ràng buộc.

Core questions

• Việc chọn tọa độ tổng quát làm giảm số lượng biến trong một bài toán như thế nào?
• Điều gì phân biệt ràng buộc toàn hình với ràng buộc không toàn hình?
• Nguyên lý d'Alembert và công ảo loại bỏ các lực ràng buộc không xác định như thế nào?

Key concepts

• Tọa độ tổng quát
• Bậc tự do
• Không gian cấu hình
• Ràng buộc toàn hình so với không toàn hình
• Chuyển vị ảo và công ảo
• Lực ràng buộc

Key theories

Ràng buộc toàn hình và bậc tự do

Các ràng buộc toàn hình có thể biểu diễn dưới dạng phương trình giữa các tọa độ và thời gian; mỗi ràng buộc làm giảm một bậc tự do và có thể được hấp thụ bằng cách chọn các tọa độ tổng quát phù hợp.

Nguyên lý d'Alembert và công ảo

Bằng cách chỉ cho phép các chuyển vị ảo phù hợp với các ràng buộc, các lực ràng buộc, vốn không thực hiện công ảo, sẽ bị loại bỏ, để lại các phương trình chuyển động chỉ theo các lực tác dụng.

Clinical relevance

Việc lựa chọn các tọa độ tổng quát tuân thủ các ràng buộc là điều khiến động lực học của các cơ cấu liên kết, cánh tay robot, hệ thống bánh răng và cơ cấu khớp nối trở nên dễ xử lý, và sự phân biệt toàn hình/không toàn hình có tính quyết định đối với việc điều khiển các hệ thống lăn và có bánh xe.

History

Nguyên lý của D'Alembert năm 1743 đã biến động lực học thành một bài toán tĩnh học bằng cách kết hợp các lực quán tính và lực tác dụng, và Lagrange đã dựa vào đó để phát triển phương pháp tọa độ tổng quát loại bỏ các lực ràng buộc. Việc phân loại có hệ thống các ràng buộc, bao gồm cả thuật ngữ không toàn hình, đã được làm rõ vào cuối thế kỷ XIX bởi Hertz và những người khác.

Key figures

• Jean le Rond d'Alembert
• Joseph-Louis Lagrange
• Heinrich Hertz

Seminal works

• goldstein2002
• lanczos1970

Frequently asked questions

Điều gì làm cho một ràng buộc trở thành không toàn hình?

Một ràng buộc không toàn hình không thể được viết dưới dạng một quan hệ đại số chỉ giữa các tọa độ; nó thường liên quan đến vận tốc theo một cách không thể tích phân được, như với một bánh xe lăn không trượt, và không thể loại bỏ bằng cách thay đổi tọa độ.

Tại sao việc loại bỏ các lực ràng buộc lại thuận tiện?

Các lực ràng buộc thường không xác định và không đáng quan tâm, chẳng hạn như lực pháp tuyến từ một đường ray. Bởi vì chúng không thực hiện công dưới các chuyển vị ảo phù hợp với các ràng buộc, phương pháp Lagrange tự động loại bỏ chúng khỏi các phương trình chuyển động.