Cơ học Lagrange
Cơ học Lagrange tái cấu trúc động lực học cổ điển dựa trên năng lượng và một hàm vô hướng duy nhất, hàm Lagrangian, từ đó suy ra các phương trình chuyển động từ nguyên lý tác dụng dừng.
Definition
Cơ học Lagrange là một công thức của cơ học cổ điển trong đó động lực học của một hệ thống được xác định bằng cách yêu cầu tác dụng, tích phân theo thời gian của Lagrangian L = T − V, phải dừng, dẫn đến các phương trình chuyển động Euler-Lagrange.
Scope
Lĩnh vực này bao gồm nền tảng biến phân của cơ học giải tích: nguyên lý tác dụng tối thiểu, các phương trình Euler-Lagrange, việc sử dụng tọa độ tổng quát để xử lý các ràng buộc một cách thanh lịch, và mối liên hệ sâu sắc giữa các đối xứng liên tục và các định luật bảo toàn được thể hiện qua định lý Noether. Nó cung cấp một khuôn khổ độc lập với hệ tọa độ, tổng quát hóa vượt xa các hạt điểm.
Sub-topics
Core questions
- Làm thế nào để suy ra các phương trình chuyển động từ một hàm vô hướng duy nhất và một nguyên lý biến phân?
- Tại sao tọa độ tổng quát lại là một mô tả mạnh mẽ hơn các lực Descartes đối với các hệ thống bị ràng buộc?
- Mối liên hệ chính xác giữa các đối xứng của một hệ thống và các đại lượng bảo toàn của nó là gì?
Key concepts
- Lagrangian L = T − V
- Tích phân tác dụng
- Tọa độ và vận tốc tổng quát
- Ràng buộc toàn hình (Holonomic constraints)
- Tọa độ chu kỳ và động lượng bảo toàn
- Đối xứng liên tục
Key theories
- Nguyên lý tác dụng tối thiểu (Nguyên lý Hamilton)
- Đường đi thực tế của một hệ thống giữa hai cấu hình làm cho tích phân tác dụng dừng, từ đó tất cả cơ học có thể được suy ra mà không cần đề cập đến các lực.
- Các phương trình Euler-Lagrange
- Việc yêu cầu tác dụng dừng dẫn đến một tập hợp các phương trình vi phân bậc hai, mỗi phương trình cho một tọa độ tổng quát, tương đương với các định luật Newton nhưng độc lập với hệ tọa độ.
- Định lý Noether
- Mọi đối xứng liên tục của tác dụng đều tương ứng với một đại lượng bảo toàn, do đó tính bất biến dưới phép tịnh tiến thời gian, tịnh tiến không gian và phép quay mang lại sự bảo toàn năng lượng, động lượng và mômen động lượng.
Clinical relevance
Phương pháp Lagrangian là công cụ làm việc để suy ra các phương trình chuyển động trong robot học, động lực học đa vật thể và phương tiện, lý thuyết điều khiển và các hệ thống cơ học bị ràng buộc, và cấu trúc biến phân của nó được áp dụng trực tiếp vào lý thuyết trường và cơ học lượng tử.
History
Lagrange đã củng cố cơ học giải tích trong tác phẩm Mécanique analytique năm 1788 của ông, loại bỏ các sơ đồ hình học để ủng hộ các phương pháp biến phân đại số được xây dựng dựa trên công trình trước đó của Euler và Maupertuis về tác dụng tối thiểu. Hamilton đã định hình lại nguyên lý này thành dạng tác dụng dừng hiện đại vào những năm 1830, và định lý của Emmy Noether năm 1918 đã tiết lộ nguồn gốc đối xứng sâu sắc của các định luật bảo toàn.
Key figures
- Joseph-Louis Lagrange
- Leonhard Euler
- William Rowan Hamilton
- Emmy Noether
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- landau1976
- arnold1989
Frequently asked questions
- Cơ học Lagrange có mạnh hơn cơ học Newton không?
- Chúng tương đương về mặt vật lý đối với các hệ thống mà cả hai mô tả, nhưng công thức Lagrange thường tiện lợi hơn nhiều: nó sử dụng năng lượng vô hướng, tự động xử lý các ràng buộc thông qua tọa độ tổng quát và tổng quát hóa một cách tự nhiên sang các trường và lý thuyết lượng tử.
- Liệu 'tác dụng tối thiểu' có nghĩa là tác dụng luôn được cực tiểu hóa không?
- Không hoàn toàn. Tác dụng dừng dọc theo đường đi vật lý, thường là cực tiểu đối với các đường đi ngắn nhưng có thể là điểm yên ngựa; phát biểu chính xác là biến phân bậc nhất của nó bằng không.