Phương trình Hamilton và Không gian pha

Phương trình Hamilton là một cặp phương trình bậc nhất mô tả sự tiến hóa theo thời gian của các tọa độ và động lượng liên hợp dưới dạng đạo hàm của Hamiltonian, mô tả chuyển động như một dòng chảy trong không gian pha.

Definition

Phương trình Hamilton là hai phương trình vi phân bậc nhất, một phương trình cho tốc độ thay đổi của mỗi tọa độ và phương trình kia cho tốc độ thay đổi của mỗi động lượng liên hợp dưới dạng đạo hàm riêng của Hamiltonian, xác định quỹ đạo của một hệ thống trong không gian pha.

Scope

Chủ đề này bao gồm phép biến đổi Legendre định nghĩa Hamiltonian từ Lagrangian, các phương trình chính tắc thu được cho mỗi cặp tọa độ-động lượng, cấu trúc của không gian pha và các quỹ đạo trong đó, và định lý Liouville về bảo toàn thể tích không gian pha dưới dòng chảy Hamilton.

Core questions

• Hamiltonian được xây dựng từ Lagrangian bằng phép biến đổi Legendre như thế nào?
• Một quỹ đạo trong không gian pha đại diện cho điều gì và nó tiến hóa như thế nào?
• Tại sao thể tích không gian pha được bảo toàn dưới dòng chảy Hamilton?

Key concepts

• Phép biến đổi Legendre
• Động lượng liên hợp
• Không gian pha và quỹ đạo pha
• Phương trình chính tắc
• Định lý Liouville
• Mặt năng lượng

Key theories

Phương trình chính tắc của Hamilton

Chuyển động được điều chỉnh bởi các phương trình bậc nhất trong đó tốc độ thay đổi của mỗi tọa độ bằng đạo hàm động lượng của Hamiltonian và tốc độ của mỗi động lượng bằng âm đạo hàm tọa độ.

Định lý Liouville

Dòng chảy được tạo ra bởi một Hamiltonian bảo toàn thể tích trong không gian pha, do đó một vùng điều kiện ban đầu tiến hóa mà không làm thay đổi độ đo không gian pha của nó, một nền tảng của cơ học thống kê.

Clinical relevance

Hình ảnh không gian pha và định lý Liouville là nền tảng của cơ học thống kê và các phương pháp tập hợp, của động lực học chùm hạt gia tốc nơi diện tích không gian pha là một độ phát xạ được bảo toàn, và của các bộ tích phân giao hoán số được sử dụng trong các mô phỏng quỹ đạo và phân tử dài hạn.

History

Hamilton đã giới thiệu các phương trình chính tắc trong các bài báo năm 1834-1835 của ông về một phương pháp tổng quát trong động lực học, biến đổi mô tả Lagrangian bậc hai thành một mô tả bậc nhất đối xứng. Định lý năm 1838 của Liouville về bảo toàn thể tích và việc Gibbs sau này sử dụng không gian pha cho các tập hợp thống kê đã thiết lập quan điểm không gian pha là trung tâm của vật lý.

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Joseph Liouville
• Josiah Willard Gibbs

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

Không gian pha là gì?

Không gian pha là không gian mà các tọa độ của nó là tất cả các vị trí tổng quát và động lượng liên hợp của chúng; một điểm duy nhất xác định đầy đủ trạng thái tức thời của một hệ thống, và lịch sử của hệ thống là một đường cong đi qua không gian này.

Tại sao phương trình Hamilton là bậc nhất trong khi phương trình Lagrange là bậc hai?

Bằng cách coi động lượng là các biến độc lập cùng với các tọa độ, công thức Hamilton làm tăng gấp đôi số lượng biến nhưng giảm mỗi phương trình xuống bậc nhất, làm lộ ra cấu trúc đối xứng của không gian pha.