Doğum-Ölüm Süreçleri
Bir doğum-ölüm süreci, mevcut popülasyon büyüklüğüne bağlı olarak doğum ve ölüm oranlarıyla birer birim artan veya azalan, tam sayılar üzerindeki sürekli zamanlı bir Markov zinciridir.
Tanım
Bir doğum-ölüm süreci, yalnızca duruma bağlı bir doğum oranıyla bir birim yukarı ve duruma bağlı bir ölüm oranıyla bir birim aşağı doğru geçişleri olan, negatif olmayan tam sayılar üzerindeki sürekli zamanlı bir Markov zinciridir; bu nedenle örnek yolları birim adımlarla değişmektedir.
Kapsam
Bu konu, en yakın komşu geçiş oranlarının yapısını, saf doğum ve saf ölüm süreçlerinin özel durumlarını, geçici çözümleri ve yok olma olasılıklarını, ayrıntılı denge (detailed balance) ile elde edilen durağan dağılımı ve M/M/1 ve M/M/c sistemleri de dahil olmak üzere popülasyonlara ve kuyruklara uygulamalarını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Duruma bağlı doğum ve ölüm oranları dinamikleri nasıl belirlemektedir?
- Bir doğum-ölüm süreci ne zaman durağan bir dağılıma sahiptir ve bu dağılım hangi formu almaktadır?
- Yok olma ve patlama olasılıkları nasıl hesaplanmaktadır?
- Kuyruk sistemleri doğum-ölüm süreçleri olarak nasıl ortaya çıkmaktadır?
Temel kuramlar
- Ayrıntılı denge ve durağan dağılım
- Geçişler komşu durumlara olduğu için, bir doğum-ölüm süreci tersine çevrilebilirdir ve durağan dağılımı, ardışık doğum-ölüm oranı oranlarının bir çarpımı olarak ayrıntılı denge denklemlerinden açıkça elde edilmektedir.
- Yok olma ve absorpsiyon analizi
- Sıfırın bir absorbe edici durum olduğu durumlarda, ilk adım ve üreteç fonksiyonu argümanları, bir popülasyonun yok olup olmadığını ve ne kadar hızlı yok olduğunu karakterize ederek yok olma olasılıklarını ve absorpsiyona kadar geçen beklenen süreleri vermektedir.
Klinik önem
Doğum-ölüm süreçleri biyolojik popülasyonları, enfeksiyonların yayılmasını ve temizlenmesini, bir kuyruktaki müşteri sayısını ve iletişim kanallarının doluluk oranını modellemektedir; sabit varış ve hizmet oranlarına sahip bir doğum-ölüm süreci olan M/M/1 kuyruğu, bu konuyu kuyruk teorisine bağlayan kanonik bir örnektir.
Tarihçe
Saf doğum süreci, biyolojik cinslerin büyümesini modellemek amacıyla Yule tarafından 1925'te tanıtılmıştır. Feller, 1930'lu ve 1940'lı yıllarda genel doğum-ölüm süreçlerini analiz etmiştir ve bu çerçeve, Erlang ve haleflerinin telefon trafiği üzerine yaptığı çalışmalarla kuyruk teorisinin merkezi bir parçası haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- William Feller
- George Udny Yule
- Alfred Lotka
İlgili konular
Temel eserler
- karlinTaylor1975
Sıkça sorulan sorular
- Bir süreci doğum-ölüm süreci yapan nedir?
- Bu, tam sayılar üzerinde, geçişleri yalnızca en yakın komşulara hareket eden, sayıyı doğum ve ölüm oranlarına göre birer birim artıran veya azaltan sürekli zamanlı bir Markov zinciridir.
- Doğum-ölüm süreçleri neden her zaman tersine çevrilebilirdir?
- Durum uzayı doğrusal olduğu ve geçişler yalnızca bitişik durumlar arasında gerçekleştiği için, herhangi iki komşu arasındaki akış dengede dengelenmektedir; bu nedenle ayrıntılı denge denklemleri geçerlidir ve durağan dağılımı doğrudan vermektedir.