Lebesgue İntegrasyonu
Lebesgue integrali, ölçülebilir bir fonksiyonun integralini, onu bir ölçü ile ağırlıklandırılmış basit fonksiyonlarla yaklaştırarak tanımlamaktadır; bu da limitlerle güçlü bir şekilde etkileşime giren bir integral sağlamaktadır.
Tanım
Lebesgue integrasyonu, negatif olmayan ölçülebilir bir fonksiyonun integralini, altındaki basit fonksiyonların integrallerinin supremumu olarak tanımlamakta ve bunu, pozitif ve negatif kısımları entegre ederek işaretli ve karmaşık fonksiyonlara genişletmektedir; böylece herhangi bir ölçüye göre tanımlanmış bir integral üretilmektedir.
Kapsam
Bu konu, basit fonksiyonları ve negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonların integralini, genel ve karmaşık değerli fonksiyonların integralini, monoton yakınsama teoremini, Fatou lemmasını, baskın yakınsama teoremini, hemen hemen her yerde ifadelerini ve Riemann integrali ile karşılaştırmayı kapsamaktadır.
Temel sorular
- İntegral, basit fonksiyonlardan ve bir ölçüden nasıl oluşturulmaktadır?
- Hangi koşullar altında bir limit, bir integralin içine taşınabilmektedir?
- Bir özelliğin hemen hemen her yerde geçerli olması ne anlama gelmektedir ve neden doğru kavram budur?
- Lebesgue integrasyonu, Riemann integrali ile nasıl ilişkilidir ve onu nasıl genişletmektedir?
Temel kuramlar
- Monoton yakınsama teoremi ve Fatou lemmas
- Negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar için, artan bir limitin integrali, integrallerin limitidir ve genel olarak bir liminf'in integrali, integrallerin liminf'ini aşmamaktadır; bunlar, limitleri integraller aracılığıyla geçirmek için temel araçlardır.
- Baskın yakınsama teoremi
- Eğer fonksiyonlar hemen hemen her yerde yakınsıyor ve sabit bir integrallenebilir fonksiyon tarafından büyüklük olarak sınırlanıyorsa, integrallerinin limiti, limitin integraline eşit olmaktadır; bu, integrasyonun en çok kullanılan değişim teoremidir.
Klinik önem
Lebesgue integrali, olasılık teorisinin beklentisi ve Fourier ile fonksiyonel analizin temelini oluşturan integraldir; yakınsama teoremleri, fizik, istatistik ve uygulamalı matematik boyunca türetmelerde limitlerin, toplamların ve integrallerin değiştirilmesini haklı çıkarmakta ve Lp fonksiyon uzaylarını tam hale getirmektedir.
Tarihçe
Lebesgue, integralini 1902'de tanımlamıştır ve yakınsama teoremleri kısa süre sonra ortaya konulmuştur; Fatou lemmasının 1906'daki seriler üzerine çalışmasında, Levi'nin monoton yakınsama teoreminin ise 1906'da yer almasıyla. Bu sonuçlar, analize modern, limit dostu integralini kazandırmıştır.
Öne çıkan isimler
- Henri Lebesgue
- Pierre Fatou
- Beppo Levi
İlgili konular
Temel eserler
- folland1999
- axler2020
Sıkça sorulan sorular
- Hemen hemen her yerde ne anlama gelmektedir?
- Bir ifade, başarısız olduğu kümenin ölçüsü sıfır ise hemen hemen her yerde geçerlidir; Lebesgue integrali bu tür kümelerdeki değişiklikleri tespit edememektedir, bu nedenle hemen hemen her yerde eşit olan fonksiyonlar aynı integrale sahiptir.
- Yakınsama teoremleri neden ana kazançtır?
- Monoton ve baskın yakınsama teoremleri, limitlerin hafif hipotezler altında integrallerin içine taşınmasına izin vermektedir; bu, Riemann integralinin sahip olmadığı ve olasılık ile analizin bağlı olduğu esnekliğin ta kendisidir.