Riemann ve Lebesgue İntegrali
İntegrasyon, bir eğrinin altında kalan alana titiz bir değer atar; Riemann integrali bunu tanım kümesini bölerek yaparken, Lebesgue integrali değer kümesini bölerek çok daha geniş bir fonksiyon sınıfını integre eder.
Tanım
Riemann integrali, tanım kümesinin daha ince bölüntüleri üzerindeki üst ve alt toplamların ortak limitidir. Bir ölçü ile ölçülen basit fonksiyonlarla fonksiyonları yaklaştırarak tanımlanan Lebesgue integrali, integrasyonu daha geniş bir sınıfa genişletir ve limitler altında iyi davranış gösterir.
Kapsam
Bu konu, Riemann integralinin üst ve alt toplamlar aracılığıyla oluşturulmasını, Riemann integrallenebilirlik kriterini, kalkülüsün temel teoremini, limitler altında Riemann integrasyonunun sınırlılıklarını ve ölçü üzerine kurulu Lebesgue integralini, monoton, Fatou ve baskın yakınsama teoremleriyle birlikte ele almaktadır.
Temel sorular
- Tam olarak hangi fonksiyonlar Riemann integrallenebilirdir ve bunları ne karakterize eder?
- Kalkülüsün temel teoremi integrasyon ve diferansiyasyonu nasıl birbirine bağlar?
- Riemann integrali neden birçok limitle yer değiştiremez?
- Lebesgue integrali bu sınırlamaların üstesinden nasıl gelir?
Temel kuramlar
- Riemann integrallenebilirlik için Lebesgue kriteri
- Kapalı bir aralıkta sınırlı bir fonksiyon, ancak ve ancak süreksizlik kümesinin ölçüsü sıfır ise Riemann integrallenebilirdir; bu, Riemann teorisinin kapsamını kesin olarak sınırlar.
- Kalkülüsün temel teoremi
- Diferansiyasyon ve integrasyon ters işlemlerdir: bir türevin integrali fonksiyonu geri verir ve bir integralin türevi integral altındaki fonksiyonu geri verir, böylece analizin iki merkezi işlemini birbirine bağlar.
- Monoton ve baskın yakınsama
- Lebesgue integrali için, monoton artan diziler ve baskın fonksiyon dizileri, limit ve integralin yer değiştirmesine izin verir; bu, Riemann integralinin sahip olmadığı bir yakınsama gücüdür.
Klinik önem
İntegrasyon teorisi, bilim genelinde alanların, olasılıkların, beklentilerin ve birikmiş niceliklerin hesaplanmasının temelini oluşturmaktadır. Lebesgue integralinin sağlam limit davranışı, olasılık teorisi, Fourier analizi, fonksiyon uzaylarının tamlığı ve diferansiyel denklemlerin çözümlerinin titiz bir şekilde ele alınması için esastır.
Tarihçe
Riemann, integralin ilk titiz tanımını 1854'te vermiştir. Birçok limiti ve süreksiz fonksiyonu ele alamaması, Lebesgue'in 1902'deki ölçü tabanlı integralini motive etmiş ve bu integral modern analiz ve olasılığın standart aracı haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Bernhard Riemann
- Henri Lebesgue
- Emile Borel
İlgili konular
Temel eserler
- rudin1976
- stein2005real
Sıkça sorulan sorular
- İleri analizde Lebesgue integrali neden tercih edilir?
- Daha fazla fonksiyonu integre eder ve en önemlisi, hafif koşullar altında limitlerin ve integrallerin yer değiştirmesine izin verir; bu da fonksiyon uzaylarını tam hale getirir ve olasılık ile Fourier analizinde vazgeçilmezdir.
- İki integral hiç farklı sonuç verir mi?
- Sınırlı bir aralıkta Riemann integrallenebilir olan fonksiyonlar için iki integral aynı değeri verir; Lebesgue integrali ise Riemann integralinin tanımlı olmadığı daha geniş bir fonksiyon sınıfına uygulanır.