Radon-Nikodym ve Çarpım Ölçüleri
Bu sonuçlar ölçüleri karşılaştırmakta ve birleştirmektedir: Radon-Nikodym teoremi bir ölçüyü, başka bir ölçünün yoğunluğu ile çarpım şeklinde ifade etmekteyken, çarpım ölçüleri ve Fubini teoremi birden çok değişken üzerindeki integrasyonu tekrarlı bir süreç haline getirmektedir.
Tanım
Radon-Nikodym teoremi, sigma-sonlu bir ölçüye göre mutlak sürekli olan bir ölçünün, o ölçüye karşı bir yoğunluğun integraline eşit olduğunu belirtmektedir; bir çarpım ölçüsü, faktör uzaylarındaki ölçüleri kendi çarpımlarına genişleterek, çok değişkenli integrasyonun her seferinde bir değişken üzerinde gerçekleştirilmesine olanak tanımaktadır.
Kapsam
Bu konu, Hahn ve Jordan ayrışımları ile işaretli ve karmaşık ölçüleri, mutlak sürekliliği ve karşılıklı tekilliği, Lebesgue ayrışımını, Radon-Nikodym teoremini ve türevini, çarpım ölçülerinin oluşturulmasını ve tekrarlı integrallerin sırasının değiştirilmesi için Fubini ve Tonelli teoremlerini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir ölçü, diğerine göre mutlak sürekli ve tekil kısımlara nasıl ayrıştırılmaktadır?
- Bir ölçü, diğerine göre ne zaman bir yoğunluğa sahip olmaktadır ve bu yoğunluk nedir?
- Bir çarpım uzayındaki bir ölçü, faktörler üzerindeki ölçülerden nasıl inşa edilmektedir?
- Tekrarlı bir integralin sırası ne zaman değiştirilebilmektedir?
Temel kuramlar
- Radon-Nikodym teoremi
- Bir ölçü, sigma-sonlu bir ölçüye göre mutlak sürekli ise, olasılık yoğunluklarının ve koşullu beklentinin titiz temeli olan benzersiz bir yoğunluk fonksiyonunun, yani Radon-Nikodym türevinin integrali olarak ifade edilmektedir.
- Fubini-Tonelli teoremi
- Sigma-sonluluk altında, bir çarpım uzayı üzerindeki bir integral, negatif olmayan fonksiyonlar için Tonelli'nin formu ve integrallenebilir fonksiyonlar için Fubini'nin formu ile tekrarlı integrale eşit olmaktadır; bu durum, integrasyon sırasının değiştirilmesini haklı kılmaktadır.
Klinik önem
Radon-Nikodym türevi, olasılıkta koşullu beklentinin titiz temelini, olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve istatistikte olabilirlik oranını oluşturmaktayken, çarpım ölçüleri ve Fubini teoremi fizikte ve uygulamalı matematikte ortak dağılımların, bağımsızlığın ve çok boyutlu integrallerin ele alınmasının temelini teşkil etmektedir.
Tarihçe
Radon, 1913'te Öklid uzayı için yoğunluk teoremini kanıtlamış ve Nikodym 1930'da bunu soyut ölçülere genişletmiştir. Fubini'nin tekrarlı integrasyon üzerine teoremi 1907 yılına dayanmakta olup, 1909'da Tonelli'nin negatif olmayan versiyonu ile tamamlanarak çarpım integrasyonu teorisini tamamlamıştır.
Öne çıkan isimler
- Johann Radon
- Otton Nikodym
- Guido Fubini
İlgili konular
Temel eserler
- folland1999
- cohn2013
Sıkça sorulan sorular
- Radon-Nikodym türevi nedir?
- Bir ölçü, diğerine göre mutlak sürekli olduğunda, bir ölçüyü diğerine karşı bir integral olarak ifade eden yoğunluk fonksiyonu olarak tanımlanmaktadır; olasılıkta ise tam olarak olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak karşılık gelmektedir.
- Çift integralin sırası ne zaman değiştirilebilmektedir?
- Tonelli teoremi, sigma-sonlu uzaylardaki negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar için buna izin vermekteyken, Fubini teoremi ise fonksiyon çarpım üzerinde integrallenebilir olduğunda buna izin vermektedir; bu teoremler birlikte pratikte karşılaşılan durumları kapsamaktadır.