Lp Uzayları
Lp uzayları, p-inci kuvveti integrallenebilir olan fonksiyonları bir araya getirmekte ve ölçü teorisi ile fonksiyonel analiz arasında bir köprü oluşturan tam normlu uzaylar olarak tanımlanmaktadır.
Tanım
Bir ölçü uzayı ve en az bir olan bir p üssü için Lp uzayı, mutlak değeri p kuvvetine yükseltildiğinde sonlu bir integrale sahip olan ve bu integralin p-inci kökü ile normlanmış ölçülebilir fonksiyonların denklik sınıflarından oluşmaktadır.
Kapsam
Bu konu, Lp normunu ve hemen hemen her yerde eşit olan fonksiyonların özdeşleştirilmesini, Hölder ve Minkowski eşitsizliklerini, Riesz-Fischer teoremi ile ifade edilen Lp'nin tamlığını, kare-integrallenebilir fonksiyonların özel Hilbert uzayı durumunu, eşlenik üsler arasındaki dualiteyi ve basit ve sürekli fonksiyonların yoğunluğunu kapsamaktadır.
Temel sorular
- Lp'nin elemanları neden fonksiyonlar yerine fonksiyonların denklik sınıfları olmak zorundadır?
- Hangi eşitsizlikler Lp normunu gerçek bir norm haline getirir ve fonksiyonların çarpımlarını kontrol eder?
- Her Lp uzayı neden tamdır ve bu neden önemlidir?
- Lp uzaylarının dualleri eşlenik üsler aracılığıyla nasıl tanımlanır?
Temel kuramlar
- Hölder ve Minkowski eşitsizlikleri
- Hölder eşitsizliği, bir çarpımın integralini eşlenik üslerdeki Lp normlarının çarpımıyla sınırlar; Minkowski eşitsizliği ise Lp normu için üçgen eşitsizliğini kurar. Bu iki tahmin, Lp'yi normlu bir uzay haline getirmektedir.
- Riesz-Fischer tamlık teoremi
- Her Lp uzayı tamdır, bu nedenle bir Banach uzayıdır ve iki üssü için bir Hilbert uzayıdır; tamlık, ölçü teorisini fonksiyonel analize bağlayan ve Fourier açılımlarının temelini oluşturan özelliktir.
Klinik önem
Lp uzayları, sonlu enerji ve sonlu güce sahip sinyaller için, Sobolev uzayları aracılığıyla kısmi diferansiyel denklemlerin varyasyonel formülasyonu için ve kare-integrallenebilir rastgele değişkenler uzayının varyans, korelasyon ve en küçük kareler tahmini arkasındaki geometriyi taşıdığı olasılık ve istatistik için doğal bir ortam sağlamaktadır.
Tarihçe
Riesz ve Fischer, 1907'de kare-integrallenebilir fonksiyonların tamlığını bağımsız olarak kanıtlamışlardır; bu sonuç kısa sürede genel üslere genişletilmiştir. Lp uzayları, Riesz ve Banach'ın fonksiyonel analiz geliştirmelerinde prototip Banach uzayları haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Frigyes Riesz
- Ernst Fischer
- Otto Holder
İlgili konular
Temel eserler
- folland1999
- brezis2011
Sıkça sorulan sorular
- Lp elemanları neden fonksiyonlar yerine denklik sınıflarıdır?
- Lp normu, yalnızca ölçüsü sıfır olan bir küme üzerinde farklılık gösteren fonksiyonları ayırt edemez; bu nedenle gerçek bir norm elde etmek için hemen hemen her yerde aynı olan fonksiyonlar özdeşleştirilir ve ortaya çıkan denklik sınıflarıyla çalışılmaktadır.
- p'nin ikiye eşit olduğu durumun özelliği nedir?
- Kare-integrallenebilir fonksiyonlar uzayı bir Hilbert uzayıdır ve iç çarpıma sahip tek Lp uzayıdır; bu özellik ona ortogonallik ve izdüşüm kazandırır, ayrıca onu Fourier analizi ile kuantum durumlarının merkezi haline getirmektedir.