การแจกแจงแบบหลายตัวแปร
การแจกแจงแบบหลายตัวแปรอธิบายพฤติกรรมความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่มหลายตัว และเป็นรากฐานที่ใช้ในการอนุมานแบบหลายตัวแปร
Definition
การแจกแจงแบบหลายตัวแปรคือกฎความน่าจะเป็นสำหรับเวกเตอร์สุ่มที่ระบุการแจกแจงร่วมของส่วนประกอบ รวมถึงพฤติกรรมส่วนเพิ่มและการพึ่งพาอาศัยกัน
Scope
ขอบเขตนี้ครอบคลุมแบบจำลองความน่าจะเป็นหลักของสถิติหลายตัวแปร ได้แก่ การแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรและคุณสมบัติของมัน การแจกแจงวิชาร์ตที่ควบคุมเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของตัวอย่าง และแบบจำลองโคพูลาที่แยกพฤติกรรมส่วนเพิ่มออกจากโครงสร้างการพึ่งพาอาศัยกัน นอกจากนี้ยังกล่าวถึงการแจกแจงร่วม การแจกแจงส่วนเพิ่ม และการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข โมเมนต์ และบทบาทของการแจกแจงเหล่านี้ในการประมาณค่าและการทดสอบสมมติฐาน
Sub-topics
Core questions
- พฤติกรรมร่วมของตัวแปรสุ่มหลายตัวถูกระบุและอธิบายได้อย่างไร?
- การแจกแจงการสุ่มใดบ้างที่เกิดขึ้นจากข้อมูลปกติแบบหลายตัวแปร?
- การพึ่งพาอาศัยกันสามารถสร้างแบบจำลองแยกต่างหากจากการแจกแจงส่วนเพิ่มได้อย่างไร?
- สมมติฐานการแจกแจงใดที่รองรับขั้นตอนวิธีมาตรฐานแบบหลายตัวแปร?
Key theories
- การแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรเป็นรากฐาน
- การแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรมีคุณสมบัติปิดภายใต้การแปลงเชิงเส้น การหาค่าส่วนเพิ่ม และการมีเงื่อนไข และเวกเตอร์ค่าเฉลี่ยและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของมันสามารถระบุการแจกแจงได้อย่างสมบูรณ์ ทำให้เป็นแบบจำลองหลักสำหรับการอนุมานแบบหลายตัวแปร
- การแยกส่วนเพิ่มและการพึ่งพาอาศัยกัน
- ตามทฤษฎีบทของ Sklar การแจกแจงร่วมใดๆ สามารถแยกออกเป็นการแจกแจงส่วนเพิ่มและโคพูลาที่เข้ารหัสการพึ่งพาอาศัยกัน ทำให้สามารถสร้างแบบจำลองการพึ่งพาอาศัยกันได้อย่างอิสระจากส่วนเพิ่ม
Clinical relevance
การแจกแจงแบบหลายตัวแปรเป็นรากฐานของสมมติฐานและทฤษฎีการสุ่มของวิธีการหลายตัวแปรเกือบทุกวิธี และแบบจำลองโคพูลาโดยเฉพาะอย่างยิ่งถูกนำมาใช้เพื่อสร้างแบบจำลองการพึ่งพาอาศัยกันในด้านการเงิน อุทกวิทยา และการวิเคราะห์ความเสี่ยง
History
การแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรและการแจกแจงการสุ่มแบบวิชาร์ตของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมได้ถูกกำหนดขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 และจัดระบบในทฤษฎีคลาสสิกของการวิเคราะห์หลายตัวแปร ต่อมาทฤษฎีโคพูลาซึ่งได้รับการจัดรูปแบบอย่างเป็นทางการผ่านทฤษฎีบทของ Sklar ในปี 1959 ได้ให้กรอบการทำงานที่ยืดหยุ่นสำหรับการสร้างแบบจำลองการพึ่งพาอาศัยกัน
Key figures
- T. W. Anderson
- John Wishart
- Abe Sklar
Related topics
Seminal works
- anderson2003
- mardia1979
- muirhead1982
Frequently asked questions
- เหตุใดการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง?
- การแจกแจงนี้เกิดขึ้นจากการแจกแจงลิมิตผ่านพฤติกรรมลิมิตกลางแบบหลายตัวแปร สามารถจัดการทางคณิตศาสตร์ได้ง่าย และเป็นรากฐานของทฤษฎีการสุ่มสำหรับค่าเฉลี่ย ความแปรปรวนร่วม และสถิติทดสอบหลายอย่างในการวิเคราะห์หลายตัวแปร
- โคพูลาเพิ่มอะไรนอกเหนือจากการแจกแจงส่วนเพิ่ม?
- โคพูลาจับโครงสร้างการพึ่งพาอาศัยกันที่เชื่อมโยงตัวแปร ทำให้สามารถรวมการแจกแจงส่วนเพิ่มแบบใดก็ได้เข้ากับรูปแบบการพึ่งพาอาศัยกันที่เลือกไว้