ปริภูมิฮิลเบิร์ตและสถานะควอนตัม

สถานะควอนตัมคือเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนบริบูรณ์ที่มีผลคูณภายใน และการจัดวางทางเรขาคณิตนี้ให้โครงสร้างของการซ้อนทับกัน (superposition) การตั้งฉากกัน (orthogonality) และความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นรากฐานของกลศาสตร์ควอนตัม

Definition

ปริภูมิฮิลเบิร์ตคือปริภูมิเวกเตอร์ผลคูณภายในที่บริบูรณ์บนจำนวนเชิงซ้อน และสถานะควอนตัมบริสุทธิ์คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในปริภูมินั้น โดยมีสถานะผสม (mixed states) แสดงด้วยตัวดำเนินการความหนาแน่นที่เป็นบวก เฮอร์มิเชียน (Hermitian) และมีร่องรอย (trace) เป็นหนึ่งหน่วย

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมคำจำกัดความของปริภูมิฮิลเบิร์ตและผลคูณภายใน การทำให้เป็นบรรทัดฐาน (normalization) และความไม่เกี่ยวข้องทางกายภาพของเฟสโดยรวม ฐานเชิงตั้งฉากปรกติ (orthonormal bases) และความบริบูรณ์ (completeness) ความแตกต่างระหว่างสถานะบริสุทธิ์ (pure states) และส่วนผสมเชิงสถิติ (statistical mixtures) ที่อธิบายโดยตัวดำเนินการความหนาแน่น (density operator) และปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบมีโครงสร้าง (rigged Hilbert space) ที่จำเป็นต่อการรองรับสเปกตรัมต่อเนื่อง เช่น ตำแหน่งและโมเมนตัม

Core questions

• คุณสมบัติใดที่ทำให้ปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นที่เหมาะสมสำหรับสถานะควอนตัม?
• เหตุใดสถานะควอนตัมจึงถูกนิยามได้เพียงแค่การทำให้เป็นบรรทัดฐานและเฟสโดยรวมเท่านั้น?
• ตัวดำเนินการความหนาแน่นอธิบายส่วนผสมเชิงสถิติของสถานะได้อย่างไร?
• สถานะสเปกตรัมต่อเนื่อง เช่น สถานะเฉพาะของตำแหน่ง (position eigenstates) ถูกจัดการทางคณิตศาสตร์อย่างไร?

Key concepts

• ผลคูณภายใน
• ฐานเชิงตั้งฉากปรกติ
• ความสัมพันธ์ความบริบูรณ์
• การทำให้เป็นบรรทัดฐานและเฟส
• ตัวดำเนินการความหนาแน่น
• ปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบมีโครงสร้าง

Key theories

สถานะบริสุทธิ์ในรูปของรังสี

สถานะบริสุทธิ์สอดคล้องกับปริภูมิย่อยหนึ่งมิติ หรือรังสี (ray) ของปริภูมิฮิลเบิร์ต ดังนั้นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยสองตัวที่แตกต่างกันเพียงแค่ตัวประกอบเฟส (phase factor) จะอธิบายสถานะทางกายภาพเดียวกัน ในขณะที่เฟสสัมพัทธ์ของพวกมันในการซ้อนทับกันมีความหมายทางกายภาพ

ตัวดำเนินการความหนาแน่นสำหรับสถานะผสม

กลุ่มเชิงสถิติ (statistical ensemble) หรือระบบย่อยของคู่ที่พันกัน (entangled pair) ไม่ได้ถูกอธิบายด้วยเวกเตอร์เดี่ยว แต่ด้วยตัวดำเนินการความหนาแน่น ซึ่งเป็นตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนที่เป็นบวกและมีร่องรอยเป็นหนึ่งหน่วย โดยที่องค์ประกอบแนวทแยงมุมให้จำนวนประชากร (populations) และองค์ประกอบนอกแนวทแยงมุมเข้ารหัสความสอดคล้องกัน (coherences)

Clinical relevance

ภาพปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นภาษาที่ใช้ในการทำงานของเทคโนโลยีควอนตัม: คิวบิต (qubits) คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในปริภูมิสองมิติ ตัวดำเนินการความหนาแน่นอธิบายสถานะที่มีสัญญาณรบกวนและทราบเพียงบางส่วนในข้อมูลควอนตัม และความสัมพันธ์ความบริบูรณ์เป็นพื้นฐานของการคำนวณแอมพลิจูดและความน่าจะเป็นในทางปฏิบัติทุกประการ

History

ฮิลเบิร์ตและลูกศิษย์ได้พัฒนาทฤษฎีของปริภูมิผลคูณภายในมิติอนันต์ประมาณปี 1900; ฟอน นอยมันน์ตระหนักในช่วงปลายทศวรรษ 1920 ว่าโครงสร้างนี้รวมกลศาสตร์เมทริกซ์ของไฮเซนเบิร์กและกลศาสตร์คลื่นของชโรดิงเงอร์เข้าด้วยกัน และแลนเดาและฟอน นอยมันน์ได้นำเสนอตัวดำเนินการความหนาแน่นเพื่ออธิบายสถานะผสม

Key figures

• David Hilbert
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Lev Landau

Seminal works

• vonneumann1955
• shankar1994

Frequently asked questions

สถานะบริสุทธิ์กับสถานะผสมแตกต่างกันอย่างไร?

สถานะบริสุทธิ์คือเวกเตอร์ปริภูมิฮิลเบิร์ตเดี่ยวที่นำพาความสอดคล้องเชิงควอนตัมเต็มรูปแบบ ในขณะที่สถานะผสมคือส่วนผสมเชิงความน่าจะเป็นของสถานะบริสุทธิ์ที่อธิบายโดยตัวดำเนินการความหนาแน่น ซึ่งสะท้อนถึงความไม่แน่นอนแบบคลาสสิกเกี่ยวกับสถานะที่ถูกเตรียมขึ้น หรือการพันกันกับระบบที่ไม่ถูกสังเกต

เหตุใดเฟสโดยรวมของสถานะจึงไม่สำคัญ?

ความน่าจะเป็นของการวัดขึ้นอยู่กับขนาดกำลังสองของแอมพลิจูด ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงโดยการคูณสถานะทั้งหมดด้วยตัวประกอบเฟส มีเพียงเฟสสัมพัทธ์ระหว่างองค์ประกอบของการซ้อนทับกันเท่านั้นที่ส่งผลต่อการแทรกสอดและดังนั้นจึงมีความสำคัญทางกายภาพ