สัญกรณ์บรา-เคตของดิแรก

สัญกรณ์บรา-เคตของดิแรกเขียนเวกเตอร์สถานะเป็นเคต และคู่กันของมันเป็นบรา ดังนั้นผลคูณภายในจึงกลายเป็นวงเล็บ (bracket) และผลคูณภายนอกกลายเป็นตัวดำเนินการ ทำให้กลศาสตร์ควอนตัมมีพีชคณิตที่กระชับและไม่ขึ้นกับฐาน

Definition

สัญกรณ์บรา-เคตคือระบบสัญลักษณ์ของดิแรกที่สถานะควอนตัมถูกแสดงด้วยเคต คู่สังยุคของมันด้วยบรา ผลคูณภายในของพวกมันด้วยวงเล็บ และตัวดำเนินการด้วยผลคูณภายนอก ซึ่งให้สัญกรณ์ที่เป็นหนึ่งเดียวสำหรับเวกเตอร์ เวกเตอร์คู่ และตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิฮิลเบิร์ต

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมเคตในฐานะเวกเตอร์สถานะและบราในฐานะสมาชิกของปริภูมิคู่ (dual space) ผลคูณภายในในฐานะวงเล็บบรา-เคต ผลคูณภายนอกในฐานะตัวดำเนินการและตัวฉาย (projector) ความสัมพันธ์ความสมบูรณ์หรือการแยกเอกลักษณ์ (resolution-of-identity) การกระทำของตัวดำเนินการและเมทริกซ์อิลิเมนต์ของพวกมัน และการเปลี่ยนผ่านระหว่างเวกเตอร์นามธรรมกับการแสดงในปริภูมิตำแหน่งหรือโมเมนตัม

Core questions

• เคตและบราแสดงสถานะและคู่ของพวกมันได้อย่างไร?
• ผลคูณภายใน ผลคูณภายนอก และเมทริกซ์อิลิเมนต์ถูกเขียนในสัญกรณ์นี้อย่างไร?
• ความสัมพันธ์ความสมบูรณ์คืออะไร และเหตุใดจึงเป็นเครื่องมือสำคัญในการคำนวณ?
• จะแปลระหว่างนิพจน์บรา-เคตเชิงนามธรรมและฟังก์ชันคลื่นที่ชัดเจนได้อย่างไร?

Key concepts

• เวกเตอร์เคต
• เวกเตอร์บรา
• วงเล็บผลคูณภายใน
• ตัวดำเนินการผลคูณภายนอก
• ความสัมพันธ์ความสมบูรณ์
• เมทริกซ์อิลิเมนต์

Key theories

เคต บรา และปริภูมิคู่

เคตแต่ละตัวในปริภูมิฮิลเบิร์ตสอดคล้องกับบราในปริภูมิคู่ผ่านผลคูณภายใน; วงเล็บให้แอมพลิจูดเชิงซ้อน ในขณะที่ผลคูณภายนอกของเคตกับบราสร้างตัวดำเนินการ โดยมีตัวฉายไปยังสถานะเป็นตัวอย่างหลัก

การแยกเอกลักษณ์

การรวมหรืออินทิเกรตตัวฉายบนฐานเชิงตั้งฉากปรกติที่สมบูรณ์จะให้ตัวดำเนินการเอกลักษณ์ และการแทรกการแยกนี้ระหว่างสัญลักษณ์จะแปลงนิพจน์นามธรรมให้เป็นผลรวมของส่วนประกอบหรืออินทิกรัลเหนือการแสดงแบบต่อเนื่อง

Clinical relevance

สัญกรณ์บรา-เคตเป็นตัวย่อสากลของฟิสิกส์ควอนตัมและการคำนวณควอนตัม: แอมพลิจูด ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะ ค่าคาดหวัง และการดำเนินการเกต ล้วนถูกเขียนและจัดการในรูปของวงเล็บและผลคูณภายนอก ทำให้เป็นภาษาที่ใช้งานได้จริงสำหรับการอธิบายระบบควอนตัมทั้งแบบใช้ดินสอ-กระดาษและซอฟต์แวร์

History

ดิแรกได้นำเสนอสัญกรณ์บรา-เคตในปี 1939 โดยกลั่นกรองทฤษฎีการแปลงก่อนหน้าของเขาให้เป็นรูปแบบที่เป็นระเบียบเรียบร้อยเพียงหนึ่งเดียว; มันได้กลายเป็นสัญกรณ์มาตรฐานของกลศาสตร์ควอนตัมอย่างรวดเร็ว และต่อมาได้ถูกนำไปใช้ทั้งหมดโดยวิทยาการสารสนเทศควอนตัม

Key figures

• Paul Dirac
• John von Neumann
• Pascual Jordan

Seminal works

• dirac1981

Frequently asked questions

บรากับเคตต่างกันอย่างไร?

เคตแสดงถึงเวกเตอร์สถานะในปริภูมิฮิลเบิร์ต ในขณะที่บราที่สอดคล้องกันคือคู่สังยุคทรานสโพสของมันในปริภูมิคู่; การจับคู่บรากับเคตจะสร้างผลคูณภายในที่ให้จำนวนเชิงซ้อน ซึ่งก็คือแอมพลิจูด

สัญกรณ์บรา-เคตเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันคลื่นอย่างไร?

ฟังก์ชันคลื่นคือส่วนประกอบของเคตเชิงนามธรรมในฐานเฉพาะ ซึ่งได้มาจากการใช้วงเล็บของไอเกนบราตำแหน่งหรือโมเมนตัมกับเคตสถานะ ดังนั้นสัญกรณ์บรา-เคตจึงทำให้การแสดงฟังก์ชันคลื่นต่างๆ เป็นแบบทั่วไปและรวมเป็นหนึ่งเดียวกัน