ปริมาณที่สังเกตได้และการวัดเชิงควอนตัม

ในกลศาสตร์ควอนตัม ปริมาณที่วัดได้ทุกชนิดจะถูกแทนด้วยตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน (Hermitian operator) ซึ่งค่าเฉพาะ (eigenvalues) ของมันคือผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ การวัดจะให้ค่าเฉพาะค่าหนึ่งแบบสุ่ม โดยมีน้ำหนักตามกฎของบอร์น (Born rule) และทำให้ระบบอยู่ในสถานะเฉพาะ (eigenstate) ที่สอดคล้องกัน

Definition

ปริมาณที่สังเกตได้ (observable) คือตัวดำเนินการแบบหาตัวเองได้บนปริภูมิฮิลเบิร์ต (Hilbert space) ของระบบ ซึ่งค่าเฉพาะของมันคือผลลัพธ์การวัดที่เป็นไปได้ การวัดจะฉายสถานะไปยังปริภูมิเฉพาะ (eigenspace) โดยให้ค่าเฉพาะที่สอดคล้องกันด้วยความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยกฎของบอร์น

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนและตัวดำเนินการแบบหาตัวเองได้ (self-adjoint operators) และสเปกตรัมที่เป็นจำนวนจริงของพวกมัน, สมการค่าเฉพาะและการแยกสเปกตรัม, ค่าคาดหวัง (expectation values) และการขึ้นกับเวลาของพวกมัน, ปริมาณที่สังเกตได้ที่สับเปลี่ยนได้ (commuting observables) และชุดสมบูรณ์ของปริมาณที่สังเกตได้ที่เข้ากันได้ (complete sets of compatible observables), หลักความไม่แน่นอนสำหรับตัวดำเนินการที่ไม่สับเปลี่ยนกัน, และการวัดแบบทั่วไปที่อธิบายโดยการวัดค่าตัวดำเนินการที่เป็นบวก (positive operator-valued measures)

Core questions

• เหตุใดปริมาณที่สังเกตได้จึงต้องถูกแทนด้วยตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน?
• จะคำนวณค่าเฉลี่ยและการกระจายของการวัดซ้ำจากสถานะได้อย่างไร?
• เมื่อใดที่สามารถวัดปริมาณที่สังเกตได้สองค่าพร้อมกันด้วยความแม่นยำตามอำเภอใจ?
• หลักความไม่แน่นอนกล่าวถึงปริมาณที่สังเกตได้ที่ไม่เข้ากันอย่างไร?

Key concepts

• ตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน
• ค่าเฉพาะและสถานะเฉพาะ
• ค่าคาดหวัง
• ปริมาณที่สังเกตได้ที่สับเปลี่ยนได้
• ชุดสมบูรณ์ของปริมาณที่สังเกตได้ที่เข้ากันได้
• ความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก

Key theories

ทฤษฎีสเปกตรัมสำหรับปริมาณที่สังเกตได้

ตัวดำเนินการแบบหาตัวเองได้มีค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนจริงและฐานเฉพาะเชิงตั้งฉากปรกติ (orthonormal eigenbasis) ดังนั้นปริมาณที่สังเกตได้ใดๆ สามารถแยกออกเป็นผลรวม หรือปริพันธ์ ของค่าเฉพาะของมันคูณด้วยตัวฉายภาพ (projectors) ไปยังปริภูมิเฉพาะที่สอดคล้องกัน ซึ่งเป็นโครงสร้างที่การวัดใช้ประโยชน์อย่างแท้จริง

หลักความไม่แน่นอน

สำหรับปริมาณที่สังเกตได้สองค่า ผลคูณของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการวัดของพวกมันในสถานะใดๆ จะมีขอบเขตล่างโดยครึ่งหนึ่งของขนาดของค่าคาดหวังของตัวสับเปลี่ยน (commutator) ของพวกมัน ดังนั้นปริมาณที่ไม่สับเปลี่ยนกัน เช่น ตำแหน่งและโมเมนตัม จึงไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนพร้อมกันทั้งสองค่า

Clinical relevance

ภาพตัวดำเนินการของการวัดเป็นพื้นฐานของสเปกโทรสโกปี (spectroscopy) ซึ่งพลังงานที่วัดได้คือค่าเฉพาะของตัวดำเนินการ และมาตรวิทยาควอนตัม (quantum metrology) และโทโมกราฟี (tomography) ซึ่งค่าคาดหวังและชุดของปริมาณที่สังเกตได้ที่เข้ากันได้เป็นตัวกำหนดว่าสามารถดึงข้อมูลเกี่ยวกับสถานะได้มากน้อยเพียงใด หลักความไม่แน่นอนกำหนดขีดจำกัดพื้นฐานของความแม่นยำในการตรวจจับและจุลทรรศน์

History

ไฮเซนเบิร์ก (Heisenberg) ได้นำเสนอความสัมพันธ์ความไม่แน่นอนของเขาในปี 1927 และในปีเดียวกันนั้นเอง รูปแบบตัวดำเนินการก็เริ่มเป็นรูปเป็นร่างขึ้น สนธิสัญญาของฟอน นอยมันน์ (von Neumann) ในปี 1932 ได้ให้การวัดและตัวดำเนินการแบบหาตัวเองได้มีรากฐานที่เข้มงวด และงานวิจัยต่อมาได้ขยายการวัดแบบฉายภาพ (projective measurements) ไปสู่การวัดค่าตัวดำเนินการที่เป็นบวกในข้อมูลควอนตัม

Debates

การตีความหลักความไม่แน่นอน

ไม่ว่าหลักความไม่แน่นอนจะสะท้อนถึงการรบกวนที่หลีกเลี่ยงไม่ได้โดยอุปกรณ์การวัด หรือเป็นคุณสมบัติโดยธรรมชาติของสถานะควอนตัมที่ไม่ขึ้นกับการวัด ได้มีการถกเถียงกันมาตั้งแต่สมัยไฮเซนเบิร์ก ความสัมพันธ์การรบกวนการวัดสมัยใหม่ได้แยกแยะแนวคิดทั้งสองนี้ออกจากกัน

Key figures

• Werner Heisenberg
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Eugene Wigner

Seminal works

• vonneumann1955
• sakurai2017

Frequently asked questions

เหตุใดปริมาณที่สังเกตได้จึงต้องเป็นเฮอร์มิเชียน?

ตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนมีค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนจริง ซึ่งตรงตามข้อกำหนดที่ว่าผลลัพธ์การวัดต้องเป็นจำนวนจริง และพวกมันมีฐานเฉพาะเชิงตั้งฉากปรกติที่สมบูรณ์ ซึ่งช่วยให้กฎของบอร์นสามารถกำหนดชุดความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันได้

ปริมาณที่สังเกตได้สองค่าใดๆ สามารถวัดพร้อมกันได้หรือไม่?

ได้เฉพาะในกรณีที่ตัวดำเนินการของพวกมันสับเปลี่ยนกันเท่านั้น ปริมาณที่สังเกตได้ที่สับเปลี่ยนกันมีฐานเฉพาะร่วมกันและสามารถกำหนดค่าที่แน่นอนพร้อมกันได้ ในขณะที่ปริมาณที่สังเกตได้ที่ไม่สับเปลี่ยนกันจะปฏิบัติตามความสัมพันธ์ความไม่แน่นอนที่ห้ามค่าที่ชัดเจนพร้อมกัน