การประมาณเชิงปริพันธ์แบบเกาส์ (Gaussian Quadrature)

การประมาณเชิงปริพันธ์แบบเกาส์เลือกทั้งจุด (nodes) และน้ำหนัก (weights) ของกฎการประมาณเชิงปริพันธ์เพื่อเพิ่มระดับความแม่นยำของพหุนามให้สูงสุด โดยสามารถหาปริพันธ์ของพหุนามดีกรี 2n-1 ได้อย่างแม่นยำด้วยการประเมินค่าฟังก์ชันเพียง n ครั้ง

Definition

การประมาณเชิงปริพันธ์แบบเกาส์เป็นกลุ่มของกฎการประมาณเชิงปริพันธ์ที่จุดของมันคือรากของพหุนามเชิงตั้งฉากที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันน้ำหนัก ซึ่งถูกเลือกพร้อมกับน้ำหนักของมันเพื่อให้ได้ระดับความแม่นยำสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับจำนวนจุดที่กำหนด

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการสร้างกฎเกาส์จากรากของพหุนามเชิงตั้งฉาก (orthogonal polynomials), กฎเกาส์-เลอจองด์ (Gauss-Legendre rule) และรูปแบบที่มีน้ำหนัก (Gauss-Chebyshev, Gauss-Hermite, Gauss-Laguerre), อัลกอริทึมค่าลักษณะเฉพาะของ Golub-Welsch สำหรับการคำนวณจุดและน้ำหนัก, และส่วนขยาย Gauss-Kronrod ที่ใช้สำหรับการประมาณค่าความคลาดเคลื่อนในทางปฏิบัติ

Core questions

• การวางจุดที่รากของพหุนามเชิงตั้งฉากเพิ่มระดับความแม่นยำเป็นสองเท่าได้อย่างไรเมื่อเทียบกับกฎที่มีจุดตายตัว?
• จุดและน้ำหนักถูกคำนวณอย่างแม่นยำสำหรับฟังก์ชันน้ำหนักที่กำหนดได้อย่างไร?
• กฎเกาส์แบบถ่วงน้ำหนักจัดการกับปริพันธ์ที่มีฟังก์ชันน้ำหนักแบบเอกฐานหรือโดเมนอนันต์ได้อย่างไร?
• การประมาณค่าความคลาดเคลื่อนที่เชื่อถือได้ได้มาอย่างไร เช่น ผ่านคู่ Gauss-Kronrod?

Key theories

ระดับความแม่นยำสูงสุด

กฎการประมาณเชิงปริพันธ์ n จุดสามารถมีความแม่นยำสำหรับพหุนามได้ถึงดีกรี 2n-1 และค่าสูงสุดนี้จะเกิดขึ้นอย่างแม่นยำเมื่อจุดคือรากของพหุนามเชิงตั้งฉากดีกรี n สำหรับฟังก์ชันน้ำหนัก โดยที่น้ำหนักทั้งหมดเป็นบวก

อัลกอริทึม Golub-Welsch

จุดและน้ำหนักของกฎเกาส์ได้มาจากการเป็นค่าลักษณะเฉพาะและกำลังสองของส่วนประกอบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแรกของเมทริกซ์ Jacobi แบบไตรแนวทแยงสมมาตรที่เกิดจากสัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดของพหุนามเชิงตั้งฉาก ซึ่งเปลี่ยนการสร้างการประมาณเชิงปริพันธ์เป็นการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ

Mechanisms

พหุนามเชิงตั้งฉากเป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนบังเกิดสามพจน์ (three-term recurrence) ซึ่งมีสัมประสิทธิ์ที่เติมเต็มเมทริกซ์ Jacobi แบบไตรแนวทแยงสมมาตร (symmetric tridiagonal Jacobi matrix); อัลกอริทึม Golub-Welsch คำนวณค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalues) ของเมทริกซ์นี้ (ซึ่งคือจุดการประมาณเชิงปริพันธ์) และใช้ส่วนประกอบแรกของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (eigenvectors) เพื่อหาน้ำหนักกลับคืนมา ทั้งหมดนี้ทำได้อย่างเสถียร การเปลี่ยนฟังก์ชันน้ำหนัก — ไปเป็นฟังก์ชันที่มีภาวะเอกฐาน (singularities) ในตัว หรือรองรับบนครึ่งเส้นตรงหรือทั้งเส้นตรง — จะให้กฎ Gauss-Chebyshev, Gauss-Laguerre, หรือ Gauss-Hermite ที่สามารถจัดการพฤติกรรมที่ซับซ้อนได้ในเชิงวิเคราะห์ กฎ Gauss-Kronrod ใช้จุดเกาส์ซ้ำและเพิ่มจุดที่สลับกัน (interlacing nodes) เพื่อให้ได้ค่าประมาณที่มีอันดับสูงขึ้น และด้วยเหตุนี้จึงได้ค่าประมาณความคลาดเคลื่อนด้วยต้นทุนเพิ่มเติมที่ไม่มากนัก

Clinical relevance

การประมาณเชิงปริพันธ์แบบเกาส์เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับการประเมินค่าปริพันธ์ขององค์ประกอบและค่าความแข็งเกร็งในการวิเคราะห์ไฟไนต์เอลิเมนต์ (finite-element analysis) สำหรับการคำนวณโมเมนต์และความคาดหวังเทียบกับฟังก์ชันน้ำหนักความน่าจะเป็นในสถิติและการหาปริมาณความไม่แน่นอน (uncertainty quantification) และสำหรับการประเมินค่าปริพันธ์ที่เรียบเนียนด้วยความแม่นยำสูงในสาขาฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ ซึ่งการลดจำนวนการประเมินค่าอินทิแกรนด์ที่มีค่าใช้จ่ายสูงเป็นสิ่งสำคัญยิ่ง

History

เกาส์ได้คิดค้นการประมาณเชิงปริพันธ์ที่เหมาะสมที่สุดของเขาในปี ค.ศ. 1814; จาโคบีได้เชื่อมโยงมันเข้ากับพหุนามเชิงตั้งฉาก และการประมวลผลเชิงคำนวณสมัยใหม่ได้ถูกกำหนดขึ้นโดยอัลกอริทึม Golub-Welsch ในปี ค.ศ. 1969 ซึ่งทำให้จุดและน้ำหนักสามารถคำนวณได้เป็นประจำ และนำกฎเกาส์เข้าสู่ไลบรารีเชิงตัวเลขมาตรฐาน

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Gene H. Golub
• Walter Gautschi

Seminal works

• davis1984
• gautschi2004

Frequently asked questions

n จุดสามารถหาปริพันธ์ของพหุนามดีกรี 2n-1 ได้อย่างแม่นยำได้อย่างไร?

เนื่องจากทั้ง n จุดและ n น้ำหนักเป็นพารามิเตอร์อิสระ จึงมี 2n องศาอิสระ ซึ่งเพียงพอที่จะจับคู่ปริพันธ์ของพหุนามฐาน 2n (ดีกรี 0 ถึง 2n-1) การวางจุดที่รากของพหุนามเชิงตั้งฉากทำให้เกิดสิ่งนี้ได้อย่างแม่นยำ

ความแม่นยำของกฎเกาส์ถูกตรวจสอบในทางปฏิบัติอย่างไร?

แนวทางทั่วไปคือคู่ Gauss-Kronrod ซึ่งเพิ่มกฎเกาส์ด้วยจุดพิเศษเพื่อสร้างค่าประมาณอันดับสูงขึ้น; ความแตกต่างระหว่างค่าประมาณทั้งสองทำหน้าที่เป็นค่าประมาณความคลาดเคลื่อนในทางปฏิบัติที่ใช้โดยตัวรวมแบบปรับตัว (adaptive integrators)