การประมาณค่าเชิงตัวเลขแบบนิวตัน-โคตส์ (Newton-Cotes Quadrature)

กฎของนิวตัน-โคตส์เป็นการประมาณค่าอินทิกรัลโดยการอินทิเกรตพหุนามที่ประมาณค่าฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรต ณ จุดที่เว้นระยะห่างเท่ากัน ซึ่งให้สูตรที่คุ้นเคย เช่น กฎสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎของซิมป์สัน

Definition

กฎการประมาณค่าเชิงตัวเลขแบบนิวตัน-โคตส์ (Newton-Cotes quadrature rule) เป็นกฎการประมาณค่าเชิงตัวเลขแบบสอดแทรก (interpolatory quadrature rule) ซึ่งมีจุดโหนดที่เว้นระยะห่างเท่ากันตลอดช่วงการอินทิเกรต โดยมีน้ำหนักที่ได้จากการอินทิเกรตพหุนามสอดแทรกที่สอดคล้องกัน

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมสูตรนิวตัน-โคตส์แบบปิดและแบบเปิด ระดับความแม่นยำและพจน์ความคลาดเคลื่อนของสูตรเหล่านั้น กฎสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎของซิมป์สันแบบประกอบที่ได้จากการแบ่งช่วง การอินทิเกรตแบบรอมเบิร์กผ่านการประมาณค่าแบบริชาร์ดสัน และความไม่เสถียรของกฎนิวตัน-โคตส์อันดับสูงที่จำกัดระดับการใช้งานจริง

Core questions

• กฎสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎของซิมป์สันได้มาจากการอินทิเกรตฟังก์ชันสอดแทรกได้อย่างไร?
• พจน์ความคลาดเคลื่อนของกฎเหล่านี้คืออะไร และเหตุใดกฎของซิมป์สันจึงมีความแม่นยำเพิ่มขึ้นอีกหนึ่งอันดับจากสมมาตร?
• กฎแบบประกอบและการประมาณค่าแบบรอมเบิร์กช่วยปรับปรุงความแม่นยำอย่างเป็นระบบได้อย่างไร?
• เหตุใดกฎนิวตัน-โคตส์อันดับสูงจึงไม่เสถียร และอะไรคือข้อจำกัดในการใช้งาน?

Key theories

ระดับความแม่นยำและพจน์ความคลาดเคลื่อน

กฎสี่เหลี่ยมคางหมูมีความแม่นยำสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีความคลาดเคลื่อนแปรผันตามอนุพันธ์อันดับสอง ในขณะที่กฎของซิมป์สัน โดยสมมาตร มีความแม่นยำสำหรับฟังก์ชันกำลังสามที่มีความคลาดเคลื่อนแปรผันตามอนุพันธ์อันดับสี่ ซึ่งเพิ่มอันดับความแม่นยำเกินกว่าระดับการสอดแทรก

กฎแบบประกอบและการอินทิเกรตแบบรอมเบิร์ก

การใช้กฎพื้นฐานกับช่วงย่อยหลายช่วงจะให้กฎแบบประกอบซึ่งมีความคลาดเคลื่อนลดลงแบบพหุนามตามขนาดขั้น การประมาณค่าแบบริชาร์ดสันของกฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบประกอบจะสร้างแผนการรอมเบิร์กที่ลู่เข้าอย่างรวดเร็ว

Mechanisms

กฎพื้นฐานแต่ละข้อจะอินทิเกรตฟังก์ชันสอดแทรกที่มีระยะห่างเท่ากันได้อย่างแม่นยำ: กฎสี่เหลี่ยมคางหมูจะอินทิเกรตเส้นตรงที่เหมาะสม กฎของซิมป์สันจะอินทิเกรตพาราโบลา กฎแบบประกอบจะแบ่งช่วงและรวมกฎพื้นฐานในแต่ละส่วน ดังนั้นการลดขนาดขั้นลงครึ่งหนึ่งจะช่วยลดความคลาดเคลื่อนได้อย่างคาดการณ์ได้ การอินทิเกรตแบบรอมเบิร์กจะสร้างตารางการประมาณค่าสี่เหลี่ยมคางหมูแบบประกอบที่ขนาดขั้นลดลงครึ่งหนึ่งต่อเนื่องกัน และใช้การประมาณค่าแบบริชาร์ดสันซ้ำๆ เพื่อยกเลิกพจน์ความคลาดเคลื่อนนำหน้าเพื่อให้ได้ความแม่นยำสูงสำหรับฟังก์ชันที่เรียบ กฎนิวตัน-โคตส์อันดับสูงแบบช่วงเดี่ยวจะมีน้ำหนักที่ผันผวนขนาดใหญ่และมีเครื่องหมายสลับกัน ซึ่งสะท้อนปรากฏการณ์รันจ์ (Runge phenomenon) ซึ่งทำให้เกิดการหักล้างและความไม่เสถียร

Clinical relevance

กฎนิวตัน-โคตส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งรูปแบบสี่เหลี่ยมคางหมูและซิมป์สันแบบประกอบ มักเป็นเครื่องมือการประมาณค่าเชิงตัวเลขเริ่มต้นที่มีต้นทุนต่ำเมื่อตัวอย่างของฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรตมีการเว้นระยะห่างเท่ากันตามธรรมชาติ เช่น ข้อมูลการทดลองที่จัดทำเป็นตาราง การอินทิเกรตอนุกรมเวลา และการประมวลผลภายหลังการจำลองอย่างง่าย และการอินทิเกรตแบบรอมเบิร์กให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำสำหรับฟังก์ชันที่เรียบโดยใช้การเขียนโค้ดน้อยที่สุด

History

กฎเหล่านี้มีต้นกำเนิดมาจากนิวตันและโคตส์ในช่วงต้นศตวรรษที่สิบแปด และจากโทมัส ซิมป์สัน ซึ่งกฎของเขาใช้ชื่อของเขา แผนการประมาณค่าแบบริชาร์ดสันของเวอร์เนอร์ รอมเบิร์กในปี 1955 ได้เปลี่ยนกฎสี่เหลี่ยมคางหมูพื้นฐานให้เป็นวิธีการที่มีความแม่นยำสูง และยังคงเป็นเครื่องมือมาตรฐานในการสอนและการคำนวณ

Key figures

• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Thomas Simpson
• Werner Romberg

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

เหตุใดกฎของซิมป์สันจึงมีความแม่นยำมากกว่ากฎสี่เหลี่ยมคางหมู?

กฎของซิมป์สันจะใช้พาราโบลาผ่านสามจุดแทนที่จะเป็นเส้นตรงผ่านสองจุด และเนื่องจากสมมาตร กฎนี้จึงอินทิเกรตพหุนามกำลังสามได้อย่างแม่นยำ ดังนั้นความคลาดเคลื่อนจึงขึ้นอยู่กับอนุพันธ์อันดับสี่และลดลงเร็วกว่ามากเมื่อขนาดขั้นลดลง

เหตุใดจึงไม่ใช้กฎนิวตัน-โคตส์อันดับสูงมาก?

กฎนิวตัน-โคตส์อันดับสูงบนจุดที่เว้นระยะห่างเท่ากันจะสร้างน้ำหนักขนาดใหญ่ที่มีเครื่องหมายสลับกัน ทำให้เกิดการหักล้างเชิงตัวเลขและความไม่เสถียร ในทางปฏิบัติ มักใช้กฎอันดับต่ำแบบประกอบ การประมาณค่าแบบรอมเบิร์ก หรือการประมาณค่าเชิงตัวเลขแบบเกาส์ (Gaussian quadrature) แทน